3.3. Решение задачи о максимальном потоке в графе

на основе линейного программирования

Рассмотрим сеть (рис. 3.3) с одним истоком (вершина 1) и одним стоком (вершина 4), на которой заданы пропускные способности дугc₁=11,с₂=7, с₃=5, с₄=8. Обозначим величину потока из вершины 1 в вершину 2 черезх₁, из 2 в 4 – черезх₂, из 1 в 3 – черезх₃, из 3 в 4 – черезх₄. Произвольно задаватьх_i (i=1..4)нельзя. Эти числа должны удовлетворять ряду ограничений.

2 7

11 х₁ х₂ 4

1 х₃ х₄

5 3 8

Рис. 3.3

1. Поток дуги не может быть больше её пропускной способности:

0£ х₁£11, 0£ х₂£7, 0£ х₃£5, 0£ х₄£8.

2. Для любой вершины, не являющейся ни истоком, ни стоком, суммарный поток входящих дуг равен суммарному потоку выходящих дуг:

х₁–х₂=0, х₃–х₄=0.

3. Вводится понятие суммарного потока Ф на конечных дугах сети, отличное от понятия потока на дуге x_i, i=1..4. Сумма потоков, исходящих из начальной вершины, равен сумме потоков, входящих в конечную вершину:

х₁+х₃=Ф, х₂+х₄=Ф.

Возникает задача: определить величину максимального потока в графе при заданных пропускных способностях, т.е. найти х_i, i=1..4, удовлетворяющие условиям 1 – 3, максимизирующие целевую функциюF_max=Ф.

Существуют различные методы решения задач линейного программирования. Одним из наиболее распространённых методов решения задачи ЛП является симплексный метод. Он позволяет за конечное число шагов определить область допустимых базисных решений и найти оптимальное решение задачи.

Сначала необходимо представить задачу в удобном для программирования виде. Для этого заменим в уравненияхФнах₅, а часть равенств представим в виде неравенств (для решения задачи стандартным симплекс-методом). Получаем задачу ЛП:

F_max=x₅.

В соответствии с этим можно записать начальную симплекс -таблицу.

Таблица 3.1

	– x1	– x2	– x3	– x4	– x5	B
0	1	0	1	0	–1	0
0	0	1	0	1	–1	0
Y3	–1	1	0	0	0	0
Y4	1	–1	0	0	0	0
Y5	0	0	–1	1	0	0
Y6	0	0	1	–1	0	0
Y7	1	0	0	0	0	11
Y8	0	1	0	0	0	7
Y9	0	0	1	0	0	5
Y10	0	0	0	1	0	8
Fmax	0	0	0	0	–1	0

Решая задачу, получим конечную симплекс-таблицу с решением прямой задачи:

Таблица 3.2

	0	0	– y9	– y4	– y8	B
X1	0	0	0	1	1	7
X2	0	0	0	0	1	7
Y3	0	0	0	1	0	0
X4	–1	1	1	1	0	5
Y5	1	–1	0	–1	0	0
Y6	–1	1	0	1	0	0
Y7	0	0	0	–1	–1	4
X5	–1	0	1	1	1	12
X3	0	0	1	0	0	5
Y10	1	–1	–1	–1	0	3
Fmax	–1	0	1	1	1	12

Решение задачи для исходных переменных:

x₁=7; x₂=7; x₃=5; x₄=5; x₅=12;

при этом F_max=12.