2.3. Разбиение графа на подграфы

Операция разбиения графа позволяет в ряде случаев существенно упростить задачу анализа сложной системы, представленной в виде графа. Иногда такое разбиение само является целью анализа графовой модели системы. Изложение методики разбиения будет вестись, как и ранее, на основе множественного подхода (использования операций теории множеств – пп. 1.2,1.3) и матричного подхода (использования теории матриц – пп. 1.4, 1.5).

2.3.1. Определение существенных вершин

на пути из вершины x_i в вершину x_j

Так как RM(x_i), определяемое формулой (2.5), является множеством вершин, достижимых изx_i, аQM{x_j}, определяемое формулой (2.6), является множеством вершин, из которых можно достигнутьx_j, то их пересечениеRM(x_i) Ç QM(x_j)определяет множество таких вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему отx_iкx_j. Эти вершины называются существенными или неотъемлемыми относительно двух концевых вершинx_iиx_j. Все остальные вершиныx_k Ï ÏRM(x_i) Ç QM(x_i) называются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на пути отx_iкx_j.

2.3.2. Определение сильных компонент графа

на основе множественного подхода

Определим вначале понятие «сильно связный граф». Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух различных вершин x_iиx_jcуществует, по крайней мере, один путь, соединяющийx_iиx_j. Это определение означает также, что любые две вершины такого графа взаимно достижимы.

На основании введенного понятия сильная компонента (СК) графа может быть определена как максимальный (содержащий наибольшее число вершин) сильно связный подграф исходного графа. Поскольку в сильно связном графе произвольная вершина x_jдостижима из любой другой вершиныx_i, то в ориентированном графе существует одна и только одна СК, содержащая данную вершинуx_i.

Таким образом, в СК каждую вершину x_iможно считать одновременно начальной и конечной вершиной пути, определяющего цикл, содержащийx_i. Естественно, что вСКдолжны оставаться только существенные вершины некоторого цикла, содержащегоx_i. Такое множество существенных вершин определяется пересечениемRM(x_i) Ç Ç QM(x_i)и задает сильную компоненту, содержащую вершинуx_i. Если эти вершины удалить из графаG = (X,Г), то в оставшемся подграфе можно таким же способом выделить новуюСК, содержащуюx_j Î X – RM(x_i) Ç Ç QM(x_i). Эту процедуру можно повторять до тех пор, пока все вершины графаGне будут сгруппированы в соответствующиеСК. После завершения этой процедуры графGбудет разбит на свои сильные компоненты, а графG^*, отображающий с помощью дуг связь между собой сильных компонент, называют конденсацией графаG.

Подчеркнем, что конденсация G^*не может содержать циклов, поскольку наличие цикла означает, что любые вершины этого цикла взаимно достижимы, а поэтому совокупность всех вершин цикла может принадлежать лишь некоторойСКвG^*.

2.3.3. Определение сильных компонент графа

на основе матричных представлений графа

Процедуру, связанную с нахождением СКграфа, можно сделать более удобной, если непосредственно использовать матрицы достижимостейRи обратных достижимостейQ. Определим скоттово (адамарово) произведение (п.1.5.6)R O Q. В полученной матрицеR O Qстрокаx_iсодержит единицы только в тех столбцахx_j, для которых выполняется условие: вершиныx_iиx_jвзаимно достижимы; в других местах строкиx_iстоят нули. После определения СК, содержащей вершинуx_i, из матрицыR O Qудаляются строки и столбцы, соответствующие вершине СК. Описанную процедуру удаления повторяют каждый раз после определения новой СК.