4.1.2.3. Логические функции двух переменных

Имеется логических функций двух переменных. Определения этих функций, обозначенных отf₀ до f₁₅, даны в нижеследующей таблице.

Функции f₀ и f₁₅ – конституанты 0 и 1 соответственно.

Функция f₃ не зависит от y и равна x (f₃(x,y) = x).

Функция f₅ не зависит от x и равна y (f₅(x,y) = y).

Функция f₁₀ не зависит от x и является отрицанием переменной y (f₁₀(x,y) = ).

Функция f₁₂ не зависит от y и является отрицанием переменной x (f₁₂(x,y) = ).

Оставшиеся функции являются функциями, непосредственно зависящими от двух переменных x и y. Среди них можно выделить наиболее часто употребляемые функции f₁ и f₇.

x	0	0	1	1
y	0	1	0	1
f0	0	0	0	0
f1	0	0	0	1
f2	0	0	1	0
f3	0	0	1	1
f4	0	1	0	0
f5	0	1	0	1
f6	0	1	1	0
f7	0	1	1	1
f8	1	0	0	0
f9	1	0	0	1
f10	1	0	1	0
f11	1	0	1	1
f12	1	1	0	0
f13	1	1	0	1
f14	1	1	1	0
f15	1	1	1	1

Функция f₁ принимает истинное значение (значение 1), если и только если оба аргумента одновременно являются истинными (x=1 и y=1). Ее называют “конъюнкция”, или же “функция логического умножения”, или же “функция И” и обозначают обычно как f(x,y) = xy.

Функция f₇ принимает значение 1 , если хотя бы один из аргументов x = 1 или y = 1. Ее называют “дизъюнкция”, или же “функция логического сложения”, или же “функция ИЛИ” и обозначают обычно как f₇(x,y) = x + y.

Функция f₆(x,y) = Это функция “исключающее ИЛИ” (f₆(x,y) = 1, если x = 1 или y = 1, но не одновременно). Еще ее называют “сумма по модулю 2”, или же “функция несовпадения”. Операция, которая соответствует этой функции, часто обозначается в виде

Функция f₉(x,y) = Это функция “логической идентичности” или же “функция совпадения”. (f₉(x,y) = 1, если x и y имеют одинаковые значения). Ее иногда обозначают как или~.

Функция f₈(x,y) = Это “функция НИ” (f₈(x,y) = 1, если ни x ни y не равны 1), или же функция “стрелка Пирса”, обозначаемая иногда как ↑.

Функция f₁₄(x,y) = Это функция “логической несовместимости” (f₁₄(x,y) = 1, если x и y одновременно не равны 1), или же функция “штрих Шеффера”, обозначаемая иногда как /.

Функция f₂(x,y) =Она называется “функция запрещения” (f₂(x,y) = 1, если x = 1 и y = 0), иногда обозначаемая как

Функция f₄(x,y) =Она называется “функция запрещения” (f₄(x,y) = 1, если x = 0 и y = 1), иногда обозначаемая как

Функция f₁₁(x,y) = Это функция “вовлечения” или “следования” (f₁₁(x,y) = 1 для всех комбинаций аргументов, кроме x = 0 и y = 1), обозначаемая иногда как или

Функция f₁₃(x,y) = Это функция “вовлечения” или “следования” (f₁₃(x,y) = 1 для всех комбинаций аргументов, кроме x = 1 и y = 0), обозначаемая иногда как или

4.1.3. Основные операции Булевой алгебры

На практике определяют некоторое число основных операций, с помощью которых можно описать все остальные операции. Такие операции называются функционально полным набором. Среди всех наборов обычно выделяют один, состоящий из трех операций: логическая инверсия, логическое сложение и логическое умножение.

4.1.3.1. Операция инверсии

Результат операции инверсии обозначают, добавляя черту над переменной x. f(x) = . Таблица истинности этой функции имеет следующий вид:

0	1
1	0

На структурных схемах данную логическую функцию обозначают с помощью следующего символа:

4.1.3.2. Логическое сложение

Операция логического сложения, соответствующая функции ИЛИ, выдает в качестве результата значение, называемое логической суммой. В выражениях для этой операции приняты следующие обозначения: или. Таблица определения или таблица истинности этой операции имеет вид:

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

На схемах эта функция обозначается с помощью символов:или

4.1.3.3. Логическое умножение

Логическое умножение соответствует функции И, и выдает в качестве результата значение, называемое логическим произведением. В выражениях для этой операции приняты следующие обозначения: , или, или же. Таблица определения или таблица истинности этой операции имеет вид:

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

На схемах эта функция обозначается с помощью символов:или

4.1.4. Законы и тождества Булевой алгебры

Можно установить некоторое число теорем, наиболее простые среди которых лежат в основе методов преобразования и упрощения логических выражений.

Логические выражения конструируются на основе ограниченного числа логических переменных x, y, z, …, знаков логических операций отрицания, логического умножения и логического сложения, а также констант 1 b 0. Они носят название логических формул и записываются в виде A(x,y,z,…), B(x,y,z,…), … .Для того, чтобы логические формулы были понятны однозначно, необходимо каждую новую логическую операцию заключать в скобки. В то же время, чтобы сильно не загромождать формулы и свести употребление скобок до минимума, по аналогии с классической алгеброй вводится приоритет выполнения операций: первыми выполняются операции отрицания, затем – логического умножения и, наконец, в последнюю очередь – логического сложения.

Каждая логическая формула может рассматриваться как представление некоторой логической функции переменных x, y, z, …, значение которой для конкретного набора переменных получается без труда заменой значений переменных, которые они принимают для данного набора (0 или 1) в логической формуле и выполняя предусмотренные логические операции.

Для одних и тех же логических переменных можно получить различные логические формулы, среди которых встречаются иногда формулы вида A и B, которые дают одни и те же значения логических функций для всех идентичных наборов логических переменных x, y, z, …, т. е.

A(x,y,z,…) = B(x,y,z,…). (4.1)

Одна из задач Булевой алгебры как раз и состоит в установлении тождества вида (4.1).

Для доказательства тождеств Булевой алгебры достаточно вычислить значения функций слева и справа от знака равенства для всех 2ⁿ комбинаций переменных.

Итак, рассмотрим законы или теоремы Булевой алгебры:

1. Это теорема чистого дуализма. Она выражает для операции отрицания свойство инволюции;

2. 

3. 

Эти две теоремы выражают свойство коммутативности операций сложения и умножения;

4. 

5. 

Эти две теоремы выражают свойство ассоциативности операций сложения и умножения;

6. 

7. 

Первая теорема выражает свойство дистрибутивности умножения по отношению к сложению. Вторая же выражает свойство дистрибутивности сложения по отношению к умножению и не имеет своего эквивалента в классической алгебре;

8. 

9. 

Эти две теоремы также не имеют своих эквивалентов в классической алгебре.

Другие элементарные теоремы:

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

Данные теоремы, в частности, очень полезны при упрощении логических функций.

Общие теоремы:

20. 

21. 

Это две формы одной теоремы, известной под именем теоремы де Моргана. Она гласит следующее: отрицание логической суммы равно логическому произведению отрицаний и отрицание логического произведения равно логической сумме отрицаний.