Малинин / Выч. Мат. (10)ЛК, Лаб.раб., ПЗ 2012 / Диапазон и точность

Лабораторная работа №8

ДИАПАЗОН И ТОЧНОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

В ЭВМ

Цель работы: изучение влияния размера разрядной сетки, форм и форматов представления данных в ЭВМ на диапазон и точность представ- ления операндов, изучение методов вычисления выражений и построения графиков функций в программе MathCad.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.L Источники и виды погрешностей представления информации

Численные методы относятся к основным методам решения задач ма- тематики и различных ее приложений, в частности, при разработке и описа- нии информационных технологий в дизайне и мультимедиа. Эти методы сводят процесс решения к конечной последовательности операций над чис- лами и приводят к результатам, представленным в виде конечномерных векторов, матриц и таблиц.

Полученные численными методами результаты обычно содержат по- грешности и являются приближенными. Одной из основных причин по- грешностей является погрешность представления информации в ЭВМ. Компьютер преобразует входную информацию в данные. Информация (цвет, форма, длина, интенсивность и т.п.) задается в виде бесконечного множества непрерывных величин (НВ). Описание НВ осуществляется с по- мощью множества действительных чисел R_є[-∞;+∞], в котором не накла- дывается никаких ограничений на диапазон используемых чисел и на точ- ность их представления.

Реализовать такую систему чисел в ЭВМ невозможно. В компьютерах размеры регистров, ячеек памяти, разрядность шин данных фиксированы, что накладывает ограничения на систему представимых чисел. Ограниче- ния касаются диапазона допустимых чисел и точности их представления. Другими словами, данные в ЭВМ задаются конечным множеством дискрет- ных величин (ДВ). Таким образом, в простейшем случае компьютер можно представить в виде преобразователя HBZ в ДВХ (рис.1), где Z- множест- во элементов, задаваемых НB, X - множество элементов, задаваемых ДВ.

Компьютер реализует отображение Ф: Z —> X. Диапазон представи- мых на выходе ЭВМ чисел задан интервалом от минимального значения X_min до максимального значения Хmах. В указанном интервале находится конечное множество допустимых чисел, расположенных через интервал дискретизации х

Ax

Рис. 1. Преобразование НВ в ДВ

Интервал Ах может быть величиной либо постоянной, либо перемен- ной. Первый случай соответствует естественной форме представления чи- сел, которые при этом называются числами с фиксированной запятой (ЧФЗ). Второй случай соответствует экспоненциальной или полулогариф- мической форме представления чисел, которые называются числами с плавающей запятой (ЧПЗ).

1.2. Диапазон и точность представления ЧФЗ

В.формате ЧФЗ запятая фиксируется либо перед левым (старшим) раз- рядом числа, либо после самого правого (младшего).

В первом случае все представляемые числа по модулю меньше едини- цы:

(1)

/ = 1

где а, = 0|Jl в системе счисления с основанием q=2, п - разрядность разряд-

1редставляемь

ной сетки.

Во втором случае все представляемые числа - целые:

' Примеры форматов ЧФЗ для обоих случаев приведены на рис. 2, где показаны разрядные сетки с указанием веса каждого разряда, а нулевой раз-

ряд отведен для кодирования знака числа х.

в соответствии с (1) lA'l^ax = 1-2'", |A^|mm = 2"\ а интервал дискретиза- ции Лх 2'", т.е. равен весу младшего разряда. Для соотношения (2) диапа- зон представления ДВ ]<\х\ < 2", а интервал дискретюации Лх = 1. При отображении Ф: Z —>Х действительное число Z может располагаться между двумя разрешенными значениями X в цекгре Ах. В этом случае имеет место максимум абсолютной ошибки представления

A = Z-X = iAx. (3)

В силу постоянства в формате ЧФЗ интервала Ах абсолютная ошибка одинакова и для Х"^'", и для Х^ах- В вычислениях важнее относительная ошибка с>, равная

^чфз = -^ ■ . (4)

Ее максимальное значение составляет s = =z-- 50 % я минимальное ^min =-^ = 2~^"'"\ как в случае (1), так и в случае (2). В рекомендуемом для

представления ЧФЗ диапазоне

относительная ошибка не пре-

восходит значения 2"".

Формат ЧФЗ обладает существенным недостатком: в вычислительных операциях все исходные данные должны быть масштабированы, т.е. для каждого числа X должен быть введен масштабный коэффициент , такой, чтобы Кх'Х лежал в принятом диапазоне для представления чисел. Поэтому основной формой представления действительных чисел Z является число с плавающей запятой (ЧПЗ).

1.3.Диапазон и точность представления ЧПЗ

В двоичной системе счисления отображение Ф: Z —>Х определяется выражением

■ Х=М,-2''-, • . (5)

где Мх-мантисса, т.е. нормализованная (приведенная к интервалу [0,5; 1]) правильная дробь со знаком, записанная в формате ЧФЗ;

Рх - порядок (целое число со знаком, записанное таюке в формате ЧФЗ).- Порядок Рх определяет фактическое положение запятой вместо поло- жения, которое она занимает в мантиссе. Поэтому с помощью (5) может быть представлено целое, смешанное или дробное число Z.' Стандартный формат ЧПЗ включает четыре поля (рис. 3),

Определим диапазон нормализованных чисел в формате ЧПЗ, имею- щем m бит порядка и п бит мантиссы. Так как диапазон ЧПЗ [-Х^ах, +Хтах] симметричен относительно нуля, то расчеты производятся для положитель- ных чисел. Минимальное число Xmin получается из (5) при подстановке ми- нимальной нормализованной мантиссы и максимального по модулю отри- цательного порядка

Х..п=+М„ормп.,п-2-^-=Д.2-'^"'-'^=2--^"' . (6)

Максимальное число Хтах получается при подстановке максимальной мантиссы и максимального положительного порядка

Х.ах= + (1-П- 2-^"'-.Г-' . (7)

Из (6) и (7) видно, что диапазон представленных чисел определяется количеством m бит порядка и существенно превосходит при т=5^7 анало- гичный диапазон в формате ЧФЗ.

Интервал дискретизации Ах между соседними ЧПЗ в соответствии с (5) определяется в виде взвешенного с помощью множителя 2^'- младшего разряда мантиссы

Ах=Х,-Х,, =2-"- . (8)

а абсолютная ошибка Лцпз составит

А,пз= ^АХ= ^2-"-2'^ . . (9)

В вычислениях важнее относительная ошибка ^чпз, равная , L2-".2'V '..2-

Максимальное значение <5.,„,„,,, составит

'.2- Lr-

' ' mm но/>.1/

2

Из (11) следует, что максимальная ошибка представления ЧПЗ постоянна и определяется разрядностью п мантиссы.

Рассмотрим представление смешанного числа Z = +28,4 в формате ЧПЗ с суммарной относительной ошибкой s y^<\ %.

1. Путем последовательного деления на 2 приведем число Z к виду 28,4=0,88625-2^ и тем самым выполним условие нормализации мантиссы

1< 0,88625 <1. .

2. Суммарная относительная ошибка складывается из ошибки округле- ния ^, и ошибки представления s,. Исходя из принципа равных уклонений, будем считать,что = s^s0,5 %.

3. Округлим мантиссу до значения, равного 0,886, и из условия (5, =2'" < 0,5 % получаем п=8. .

4. Из п.2 и п.З следует, что для задания модуля порядка необходимо т=3, а модуля мантиссы п=8. Таким образом, смешанное число Z = +28,4 в формате ЧПЗ представляется информаш^онным словом

0	0	1 |о И	1|1|1|0|0|0|1|0
Знак	Знак

При необходимости расширения диапазона представления ЧПЗ пере- ходят из двоичной системы счисления к шестнадцатиричной.