3. Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = t_i + с помощью формулы:

y = y_i + f_i = y_i +f(t_i, y_i).

Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке

f = f(t, y)

и затем полагается

y_i+1 = y_i + h f, i = 0, 1, …, n - 1. (6.12)

Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности

Второй модифицированный метод Эйлера - Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

= y_i + h f(t_i, y_i). (6.13)

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

y_i+1 = y_i + [f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )], i = 0, 1, …, n - 1. (6.14)

Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера - Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера - Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R |y- y|. (6.15)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R |y- y| < . (6.16)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.2.

Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши

y (t) = y - , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примере 6.1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:

y_i+1 = y_i + h f = y_i + 0.2 f, где

f = f(t, y) = y - ,

t = t_i + = t_i + 0.1,

y = y_i +f(t_i, y_i) = y_i +0.1,

t₀ = 0, y₀ = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.3:

Таблица 6.3

i	ti	yi	f(ti, yi)	t	y	h f
0 1 2 3 4 5	0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1 1.1836 1.3426 1.4850 1.6152 1.7362	0.1 0.0850 0.0747 0.0677 0.0625	0.1 0.3 0.5 0.7 0.9	1.1 1.2682 1.4173 1.5527 1.6777	0.1836 0.1590 0.1424 0.1302 0.1210

Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение y_i, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(t_i) - y_i| = 0.0042.

Пример 6.3.

Применим второй модифицированный метод Эйлера - Коши для решения задачи Коши

y (t) = y - , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда n = = 5.

В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера - Коши:

y_i+1 = y_i + [f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )] = y_i + 0.1[f(t_i, y_i) + f(t_i+1, )],

где

f(t_i, y_i) = y_i -

= y_i + h f(t_i, y_i) = y_i + 0.1

t₀ = 0, y₀ = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.4:

Таблица 6.4

i	ti	yi	f(ti, yi)	ti+1		f(ti+1,)
0 1 2 3 4 5	0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1 1.1867 1.3484 1.4938 1.6272 1.7542	0.1 0.0850 0.0755 0.0690 0.0645	0.2 0.4 0.6 0.8 1.0	1.2 1.3566 1.4993 1.6180 1.7569	0.867 0.767 0.699 0.651 0.618

Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение y_i, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(t_i) - y_i| = 0.0222.