1.5. Погрешности произведения и частного приближенных чисел

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного

является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и

произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя извест-

ную формулу

Δa = δa A или Δa = δa a ,

для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения при-

ближенных чисел определяется следующим образом:

δ(x1x2 ...xn ) ≤ δx1 + δx2 + ... + δxn .

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких при-

ближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над

этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

δ(x1x2...xn ) = δx1 + δx2 + ... + δxn

Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного

двух приближенных чисел:

1 2

2

1 x x

x

x ≤ δ + δ ⎟

⎟⎠ ⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

δ ; 1 2

2

1 x x

x

x = δ + δ ⎟

⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

δ

1.6. Погрешность функции

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по из-

вестным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность

некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для

приближенного значения аргумента x0 ≈ X 0 , имеющего известную предельную

6

абсолютную погрешность Δx0 . Если функция f(x) дифференцируема в точке x0,

то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

Δ f (x0 ) ≈ f ′(x0 ) Δx0 .

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргу-

мента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

δx0 << 1 и δf(x0) << 1.

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем

производной может привести к значительному увеличению погрешности ре-

зультата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря

точности).

1.7. Погрешность функции нескольких переменных

Пусть y = f(x1, x2, …, xn) – приближенное значение функции от прибли-

женных аргументов x1 ≈ X1, x2 ≈ X2 , …, x n ≈ X n , которые имеют абсолютные

ошибки Δx1 , Δx2 , …, Δx n .

Для определения Δy используют принцип наложения ошибок, согласно

которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдель-

ности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале вре-

менно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами,

и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью

этого аргумента Δx1 :

1 1 ( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) 1 1 Δ y = Δ f x x xn = f x′ x x xn Δx ,

где производная определяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка, вно-

симая аргументом Δx2 :

2 2 ( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) 2 2 Δ y = Δ f x x xn = fx′ x x xn Δx .

В итоге искомая погрешность функции Δy , определяется суммой всех

частных ошибок:

Δ = Δ ≈ Σ ′ Δ

=

n

i

y f x x xn f x x x xn xi i 1

( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) .

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следую-

щих неравенств:

δxi << 1 (i = 1,n ); δ f(x1, x2, …, xn) << 1.

1.8. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении по-

грешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С исполь-

зованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются

следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функ-

7

ции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величи-

ны.

Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же

погрешность результата может быть получена при разных погрешностях ис-

ходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют

принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения пре-

дельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

Δ __________≈ Σ ′ Δ

=

n

i

f x x xn f x x x xn xi i 1

( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) .

все слагаемые из правой части принимаются равными:

f x1 (x1, x2 ,..., xn ) x1 fx2 (x1, x2 ,..., xn ) x2 ... fx (x1, x2 ,..., xn ) xn . n

′ Δ = ′ Δ = = ′ Δ

Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов оп-

ределяются следующим образом:

⋅

′

Δ

Δ =

( , ,..., )

( , ,..., )

1 2

1 2

x n

n

i n f x x x

x f x x x

i