2.6.1. Степенной метод

Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.

Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что

Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов

, ,...,

Тогда

( 38)

для любого номера i=1,2,...,n.

Точнее

(*)

Докажем это в предположении, что матрица A имеет n линейных независимых собственных векторов . Запишем разложение векторапо базису из собственных векторов

.

Тогда

Так как дляk=2,...,n и дляk=3,...,n , то отсюда следует, что при выполняется соотношение (*)

Взяв достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (38) наибольший по модулю корень характеристического уравнения для матрицы A. Для нахождения этого корня может быть использована любая координатавектора, в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих значений.

Так как , то при

.

Поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицыA, соответствующий собственному значению .

2.6.2. Метод вращений

Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений.

Сущность метода состоит в следующем.

Известно, что для симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U такая, что

где - транспонированная кU матрица, а  - диагональная матрица. Так как , то матрицаподобна матрицеA и, следовательно, имеет те же собственные значения, что и матрица A. Так как собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, то зная U, мы можем найти все собственные значения матрицы A. Одновременно мы получим и все собственные векторы матрицы A, в качестве которых можно взять столбцы матрицы U.

Пусть , гдемало отличается от диагональной матрицы, т. е. элементы вне главной диагонали малы. Тогда можно ожидать, что собственные числа матрицыбудут близки к диагональным элементамматрицы, иможно принять за приближенные значения.

Таким образом, решение полной проблемы собственных значений сводится для симметрической матрицы A к нахождению ортогональной матрицы U, с помощью которой матрица A приводится к диагональному виду.

В методе вращения матрица U строится как предел последовательности произведений матриц простых поворотов, при которых все оси координат кроме двух остаются неподвижными. При этом матрицы простых поворотов подбираются так, чтобы при преобразовании матрицы с помощью матрицы простого поворота на каждом шаге уничтожался максимальный по модулю недиагональный элемент.

Итерационный процесс осуществляется следующим образом.

Пусть - матрица, полученная послеk - го преобразования поворота.

В матрице находится максимальный по модулю элемент. Строится ортогональная матрица простого поворота вида

Угол подбирается так, чтобы у матрицы

элемент обратился бы в нуль. Найдем выражение для этого элемента.

Обозначим .

Матрица отличается от матрицытолько столбцами с номерамии, причем последние имеют такой вид:

Матрица отличается от матрицытолько строками с номерамиi и j, причем эти строки имеют такой вид:

Таким образом,

Из требования, что , получаем

, т. е. 

Процесс заканчивается, когда все внедиагональные элементы полученной на очередном шаге матрицы будут достаточно малы. Диагональные элементы этой матрицы являются приближениями для собственных чисел матрицыA, а столбцы матрицы приближениями для соответствующих собственных векторов.

Метод вращения является одним из самых удобных итерационных методов для определения собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. Он прост по вычислительной схеме, быстро сходится, кратные и близкие собственные значения не вызывают никаких трудностей.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]