
- •Содержание
- •Метод Гаусса решениясистем линейных алгебраических уравнений
- •Задача Коши для оду
- •1.2. Источники и классификация погрешностей
- •1.2.1. Погрешности данных, метода и вычислений
- •1.3. Абсолютная и относительная погрешности вычисления
- •2. Численные методы алгебры
- •2.1. Методы решения алгебраических уравнений
- •2.1.1. Метод деления отрезка пополам
- •2.1.2. Метод хорд
- •2.1.3. Метод Ньютона
- •2.2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.4. Варианты итерационных методов
- •2.4.1. Метод простых итераций
- •2.4.2. Метод Якоби
- •2.4.3. Метод Зейделя
- •2.4.4. Метод релаксации
- •2.5. Оценка погрешности и мера обусловленности
- •2.4. Варианты итерационных методов
- •2.4.1. Метод простых итераций
- •2.4.2. Метод Якоби
- •2.4.3. Метод Зейделя
- •2.4.4. Метод релаксации
- •2.5. Оценка погрешности и мера обусловленности
- •2.6.1. Степенной метод
- •2.6.2. Метод вращений
- •3. Численные методы математического анализа
- •3.1. Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа
- •3.1.1. Постановка задачи
- •3.1.2. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
- •3.1.3. Остаточный член
- •3.2.1. Постановка задачи
- •3.2.2. Многочлены Чебышева
- •3.2.3. Минимизация оценки остаточного члена
- •3.4.1. Использование интерполяционных многочленов с разделенными разностями.
- •3.4.3. Оценка погрешности по методу Рунге..
- •3.4.4. Уточнение приближенного решения.
- •3.5.1. Линейный интерполяционный сплайн
- •3.5.2. Кубический интерполяционный сплайн
- •3.5.3. Метод прогонки.
- •3.6. Метод наименьших квадратов
- •3.6.1. Подбор эмпирических формул
- •3.6.2. Среднеквадратичные приближения.
- •3.7.1. Формула прямоугольников.
- •3.7.2. Формула трапеций.
- •3.7.3.Формула Симпсона (парабол).
- •3.7.4. Оценка погрешности численного интегрирования.
- •4.2.1. Классификация численных методов для задачи Коши
- •4.4.1. Устойчивость задачи Коши по начальным данным
- •4.4.2. Устойчивость схемы Эйлера на модельной задаче
- •4.6. Сходимость методов Рунге - Кутта второго порядка
- •4.6.1. Исследование сходимости семейства разностных схем на модельной задаче
- •4.7.1. Сценарий построения разностных схем
- •4.8.1. Построение двухшаговой и трехшаговой схем
- •4.8.2. Погрешность аппроксимации
- •4.8.3. Устойчивость на модельной задаче
- •4.9.1. Построение неявных схем
- •4.9.2. Двухшаговая схема: погрешность аппроксимации и устойчивость на модельной задаче
- •4.9.3. Нахождение решения неявной разностной схемы
- •4.9.4. Схема "предиктор - корректор". Сравнение методов
- •4.10.1. Граничные условия
- •4.10.2. Метод стрельбы для краевой задачи с оду 2-го порядка
- •4.12. Общая задача.
- •4.12.1. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.
- •4.12.2. Сходимость разностной схемы.
- •4.12.3. Краевые условия 2-го и 3-го рода.
- •4.12.1. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.
- •4.12.2. Сходимость разностной схемы.
- •4.12.3. Краевые условия 2-го и 3-го рода.
- •1.1. Методы решения алгебраических уравнений
- •1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •1.3. Итерационные методы решения систем уравнений
- •2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.6.1. Степенной метод
Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.
Пусть - собственные числа матрицы A. Для
определенности предположим, что
Берем
произвольный ненулевой вектор .
Строим последовательность векторов
,
,...,
Тогда
(
38)
для любого номера i=1,2,...,n.
Точнее
(*)
Докажем
это в предположении, что матрица A
имеет n
линейных независимых собственных
векторов .
Запишем разложение вектора
по базису из собственных векторов
.
Тогда
Так
как дляk=2,...,n и
дляk=3,...,n
, то отсюда следует, что при
выполняется соотношение (*)
Взяв
достаточно большой номер итерации m, мы
сможем с любой степенью точности
определить по формуле (38) наибольший по
модулю корень характеристического уравнения для
матрицы A. Для нахождения этого корня
может быть использована любая координата
вектора
,
в частности, можно взять среднее
арифметическое соответствующих значений.
Так
как ,
то при
.
Поскольку
собственный вектор определяется с
точностью до скалярного множителя, то
сам вектор приближенно представляет собой
собственный вектор матрицыA,
соответствующий собственному значению
.
2.6.2. Метод вращений
Метод вращения позволяет для симметрических матриц решать полную проблему собственных значений.
Сущность метода состоит в следующем.
Известно, что для симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U такая, что
где - транспонированная кU
матрица, а
- диагональная
матрица. Так как
,
то матрица
подобна матрицеA
и, следовательно, имеет те же собственные
значения, что и матрица A.
Так как собственными значениями
диагональной матрицы являются ее
диагональные элементы, то зная U,
мы можем найти все собственные значения
матрицы A.
Одновременно мы получим и все собственные
векторы матрицы A,
в качестве которых можно взять столбцы
матрицы U.
Пусть ,
где
мало отличается от диагональной матрицы,
т. е. элементы вне главной диагонали
малы. Тогда можно ожидать, что собственные
числа матрицы
будут близки к диагональным элементам
матрицы
,
и
можно принять за приближенные значения
.
Таким образом, решение полной проблемы собственных значений сводится для симметрической матрицы A к нахождению ортогональной матрицы U, с помощью которой матрица A приводится к диагональному виду.
В методе вращения матрица U строится как предел последовательности произведений матриц простых поворотов, при которых все оси координат кроме двух остаются неподвижными. При этом матрицы простых поворотов подбираются так, чтобы при преобразовании матрицы с помощью матрицы простого поворота на каждом шаге уничтожался максимальный по модулю недиагональный элемент.
Итерационный процесс осуществляется следующим образом.
Пусть - матрица, полученная послеk
- го преобразования поворота.
В
матрице находится максимальный по модулю
элемент
.
Строится ортогональная матрица простого
поворота вида
Угол подбирается так, чтобы у матрицы
элемент обратился бы в нуль. Найдем выражение
для этого элемента.
Обозначим .
Матрица отличается от матрицы
только столбцами с номерами
и
,
причем последние имеют такой вид:
Матрица отличается от матрицы
только строками с номерамиi
и
j, причем эти
строки имеют такой вид:
Таким образом,
Из
требования, что ,
получаем
,
т. е.
Процесс
заканчивается, когда все внедиагональные
элементы полученной на очередном шаге
матрицы будут достаточно малы. Диагональные
элементы этой матрицы являются
приближениями для собственных чисел
матрицыA,
а столбцы матрицы
приближениями для соответствующих
собственных векторов.
Метод вращения является одним из самых удобных итерационных методов для определения собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. Он прост по вычислительной схеме, быстро сходится, кратные и близкие собственные значения не вызывают никаких трудностей.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]