3.1.3. Остаточный член

В узлах многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией, в остальных точках в общем случаене совпадает с(кроме случая, когдамногочлен степени не выше). Разность-- остаточный член. Запишем ее в виде.

При . Найдем постоянную такую, чтобыв некоторой фиксированной точке, в которой мы рассматриваем погрешность.

Относительно будем предполагатькратную дифференцируемость.

Значение c, при котором существует и равно. Тогда функцияравна нулю по крайней мере вточках.

По теореме Ролля производная равна нулю по крайней мере вточках. Далее,равна нулю по крайней мере в n точках и т.д.

Для - производной получаем, что существует по крайней мере одна точкатакая, что.

Отсюда получаем при . В этом случае в точке, т.е. остаточный член в точкеимеет вид:

Значениезависит от- точки, в которой рассматривается погрешность.

Оценка остаточного члена:

,3.2. Минимизация остаточного члена

3.2.1. Постановка задачи

- остаточный член формулы Лагранжа.

Для получено выражение :

(7)

Оно получено в предположении, что производная существует и ограничена. Для одной определенной функцииточность интерполирования характеризуется величиной.

Если интерполируется некоторое множество функций , то точность можно оценить величиной:

Oна зависит только от выбора узлов .

Пусть

Задача: найти такие узлы для которых величина(8)

минимальна.

Задача (8) есть задача об определении на многочлена степени, все корни которого простые и лежат на, наименее отклоняющегося от нуля.

3.2.2. Многочлены Чебышева

Пусть . Рассмотрим функцию вида:

(9)

При :

При :,

При используем тригонометрическое тождество

Пусть многочлен степени. Получим рекурентное соотношение, связывающее.

Сложим почленно эти равенства и перенесем в другую сторону. Получим

(10)

Полагая в (10) , получим

(11)

Из (11) следует, что многочлен степени. Коэффициент приравен.

Корни многочлена Чебышева :

(12)

Формула (12) дает различных значенийпри. Значениепри других значенияхсовпадает с одним из значений из указанных. Например, приполучаем то же значение, что и при :

Значения при совпадают со значениями при и т.д.

на отрезке [-1,1] равен 1. Он достигается в точках, когда

.

, (13)

Покажем, что среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1,1].

Покажем, что для любого со старшим коэффициентом 1

.

Разность есть многочлен степени. В точкахпринимает поочередно значения +1, -1. Если, то разность в точкахбудет принимать поочередно положительные и отрицательные значения и будет иметьнулей (между значениями). Получаем противоречие.

3.2.3. Минимизация оценки остаточного члена

Пусть приближена на отрезкеинтерполяционным многочленом степени. Оценка остаточного члена:

.

Величина на отрезке [-1,1] будет минимальна, еслиокажется многочленом.совпадает с этим многочленом, если в качестве узлов интерполяции взять корни многочлена Чебышева, вычисляемые по формуле (12).

Сделаем замену , задающую отображение [-1, 1] в отрезок. Отсюда. Тогдаи многочленявляется наименее уклоняющимся от нуля многочленом степенисо старшим коэффициентом 1 на отрезке. Нули определяются формулой

.

Если в качестве узлов интерполяции взять эти значения, то

и для нее на отрезке

- минимальная величина. Тогда оценка остаточного члена будет .

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ]

где 3.3. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями

Пусть имеется табулированная функция . Введем понятие разделенной разности.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями самой функции.

Разделенные разности первого порядка

Разделенные разности второго порядка и т.д.

Разделенные разности - го порядка :

(14)

Пусть многочлен степени. Разностьобращается в нуль при, следовательно, она делится на. Тогда разделенная разность первого порядка- многочлен степениотносительно(и относительно, так как выражение симметрично относительнои).

Разность обращается в нуль при, поэтому, разделенная разность второго порядка

- многочлен степени .

Аналогично, - многочлен степении т.д.

Разделенная разность порядка n: - многочлен нулевой степени.

Разделенные разности более высокого порядка обращаются в нуль.

Значение отне зависит, тогда

Из определения разделенных разностей следует:

и т.д.

Отсюда получаем формулу для :

(15)

Разделенные разности в соответствии с рекуррентной формулой (14) выражаются через значения многочлена в узлах . Если- узлы интерполяции,- значения интерполируемой функции в этих узлах, то они однозначно определяют интерполяционный многочлен степени, значения которого в узлах совпадают с. Тогда разделенные разности многочленасовпадают с разделенными разностями функции. Поэтому интерполяционный многочлен можно записать в форме:

(16)

Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Формула (17) более удобна для вычисления, чем запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа, т.к. добавление новых узлов интерполяции влечет вычисление только новых слагаемых, добавляемых к тому, что было вычислено с меньшим числом узлов. При использовании формы Лагранжа в этой ситуации требуется выполнять все вычисления заново.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ] 3.4. Численное дифференцирование.

Каждая из рассмотренных ранее интерполяционных формул может быть использована для приближенного нахождения значений производных функции .