Содержание

Введение

Развитие численных методов решения задач. Понятие вычислительного эксперимента. Классификация и элементы анализа погрешностей приближенных вычислений

Численные методы алгебры

Итерационные методы решения алгебраических уравнений и систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Приближенные методы нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц

Численные методы математичекого анализа

Приближения функций интерполяционными многочленами и сплайнами. Среднеквадратичные приближения. Численное дифференцирование и интегрирование.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Одношаговые и многошаговые разностные схемы для задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Разностные схемы для краевых задач для ОДУ 2-го порядка.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ] Роль численныхметодов

Понятие точного и приближенногорешения математической задачи. Суть метода математического моделирования. Развитие инструментальных средств вычислений.

Вычислительный эксперимент как современная компьютерная форма метода математического моделирования. Технологическая цепочка вычислительногоэксперимента: - построение математической модели - конструирование вычислительного алгоритма - реализация алгоритма на ЭВМ - проведение расчетов - анализ результатов.

Метод вычислительной математики.

Источники и классификацияпогрешностей

Источники погрешностей: - погрешность модели - погрешность метода - вычислительная погрешность.

Абсолютная и относительнаяпогрешность приближенного значения.

Погрешности арифметическихопераций

Оценка абсолютной погрешностизначения функции через погрешности ее аргументов.

Оценки абсолютной и относительной погрешностей арифметическихопераций: - сложение - вычитание - умножение - деление.

Обратная задача оценкипогрешности.

Методы решенияалгебраических уравнений

Этапы приближенного решенияуравнения - поиск начального приближения или отрезка, содержащего корень - уточнение приближенного решения иетационным методом

Метод деления отрезка пополам(метод дихотомии) (на каждом шаге итерационного процесса отрезок, содержащий корень, делится пополам)

Метод хорд (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке, содержащем корень, заменяется хордой)

Метод Ньютона (метод касательных) (на каждом шаге итерационного процесса кривая на отрезке, содержащем корень, заменяется касательной)

Примеры решения алгебраических уравнений метод хорд метод касательных комбинированный метод хорд и касательных с помощью встроенной функции root

Метод Гаусса решениясистем линейных алгебраических уравнений

Орешении систем линейных алгебраических уравнений

Прямойход метода Гаусса приведение матрицы системы к треугольному виду

Обратныйход метода Гаусса последовательное вычисление значений неизвестных

МетодГаусса с выбором главного элемента

Оценкавычислительных затрат

Вычислениеопределителя

Нахождениеобратной матрицы

Примеррешения системы линейных уравнений методом Гаусса

Итерационныеметоды. Общая схема

Классификация итерационныхметодов

Общий вид и каноническаяформа одношаговых итерационных методов

Критерий сходимости стационарного линейного одношагового итерационного метода

Достаточные условия сходимости, использующие различные нормы матрицы перехода

Достаточные условия сходимости, для канонической формы

Вариантыитерационных методов

Метод простых итераций

Метод Якоби

Метод Зейделя

Метод релаксации

Пример решения системы линейныхалгебраических уравнений методом Зейделя методом релаксации

Оценкапогрешности и мера обусловленности

Оценка погрешности решения системы через погрешности исходных данный

мера обусловленности матрицы.

Алгебраическаяпроблема собственных значений

Постановка задачи о собственных числах и собственных векторах матрицы

Степенной метод нахождения максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора.Обоснование сходимости

Метод вращения нахождения всех собственных чисел и собственных векторов.

Примервычисления собственных чисел и собственных векторов матрицы

Задачаинтерполяции. Многочлен Лагранжа.

Постановка задачи Линейная и нелинейная интерполяция Одназначная разрешимость задачи

Построение интерполяционногомногочлена Лагранжа Пример

Остаточный член Оценка остаточного члена

Пример использованияинтерполяционного многочлена для вычисления производной

Минимизацияостаточного члена

Постановка задачи

Многочлен Чебышева Определение и свойства многочленов,наименее отклоняющихся от нуля

Минимизация оценки остаточногочлена

Интерполяционнаяформула Ньютона с разделенными разностями

Разделенные разности Выражение многочлена через его разделенныеразности

Интерполяционный многочленв форме Ньютона.

Численноедифференцирование

Использование интерполяционногомногочлена с разделенными разностями

Погрешность приближенныхформул для производных первого и второго порядка

Оценка погрешности пометоду Рунге

Уточнение приближенногорешения

Сплайн-интерполяция

Линейный интерполяционныйсплайн определение, остаточный член и его оценка

Сходимость интерполяции

Кубический интерполяционныйсплайн Определение, вывод системы управленийдля параметров сплайна

Оценка погрешности и сходимость

Метод прогонки

Пример построенияинтерполяционного кубического сплайна

Методнаименьших квадратов

Подбор эмпирических формул Определение вида и подбор параметров эмпирических зависимостей

Среднеквадратические приближения Вывод системы уравнений для параметров аппроксимирующей функции

Система уравнений для коэффициентов аппроксимирующегомногочлена

Пример построенияаппроксимирующего многочлена методом квадратов

Квадратурныеформулы

Постановка задачи численногоинтегрирования

Формулы прямоугольников Построение и оценка погрешности

Формулы левых, правыхи средних прямоугольников

Обобщенная формула прямоугольников Построение и оценка погрешности

Формула трапеции Построение и оценка погрешности

Обобщенная формула трапеции Построение и оценка погрешности

Формула Симпсона (формулапарабол) Построение и оценка погрешности

Обобщенная формула Симпсона Построение и оценка погрешности

Оценка погрешности численногоинтегрирования по методу Рунге Порядок погрешности обобщенных квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона

Пример использования квадратурной формулы Симпсона квадратурной формулы трапеций