Шумов задачи и учебник / 271492_0FC34_ipatov_v_p_shirokopolosnye_signaly

6.11. Последовательности с идеальной периодической АКФ.

Как уже неоднократно указывалось, существуют многочисленные практические приложения, в которых периодичность используемых сигналов выдвигает на первый план качество их периодических корреляционных свойств. Другими словами, хорошая периодическая АКФ выполняет не только роль полезного вспомогательного инструмента для синтеза хороших апериодических последовательностей, но и ценна самостоятельно. Примеры подобного рода дают дальномерные системы с непрерывным излучением, в особенности на больших расстояниях, пилотный канал и канал синхронизации в цифровых системах передачи данных (пилотные каналы «вниз» стандартов cdmaOne и cdma2000, вторичный канал синхронизации стандарта UMTS), радарные и сонарные системы с непрерывным излучением и т.п.

Несмотря на то, что бинарные { 1} минимаксные последовательности выглядят достаточно привлекательно, обладая максимальным периодическим боковым лепесткомp, max 1/ N , падающим с ростом длины, достаточно вероятны ситуации, когда прием-

лемое значение p, max требует фантастически большой длины N . Например, для лока-

ционных дальномерных и сонарных систем требование временного разрешения сигналов в динамическом диапазоне, превышающем 80 дБ, является достаточно обычным. Для выполнения данного условия требуются оптимальные бинарные последовательности длины,

превышающей 104 , что может неоправданно замедлить начальную процедуру поиска (см. главу 8). Очевидно, что для многих подобных сценариев наилучшим выходом могла бы служить идеальная периодическая АКФ (6.6), которая, к сожалению, недостижима на множестве бинарных кодов, наиболее привлекательных с точки зрения практической реализации. В дальнейшей части параграфа будут проанализированы возможные различные пути достижения идеальной периодической АКФ для случаев, когда алфавит последовательности не лимитирован жестким требованием бинарности символов { 1} .

6.11.1. Бинарные последовательности с не противоположной модуляцией.

Замена противоположного алфавита { 1, 1} на некоторый не противоположный

бинарный открывает возможность обратить все периодические боковые лепестки любой бинарной минимаксной последовательности, удовлетворяющей (6.12), в нуль. Простейшим путем определения необходимого алфавита является добавление константы c (ком-

Периодическая АКФ полученной таким образом последовательности может быть найдена непосредственным подсчетом

i 0

a0 ,a1, ,aN 1 . Соотношение (6.8) показывает, что для любой минимаксной последова-

m 0

скольку изменение знака всех элементов не затрагивает АКФ, то можно рассматривать

только последовательности с ~0 . Учтем еще раз, что для любой минимаксной после- a 1

довательности, удовлетворяющей (6.12), первая сумма в правой части (6.28) равна 1 при

178

любом m 0mod N . Тогда, полагая боковые лепестки последовательности ai c, i ,1,0,1, равными нулю, приходим к уравнению для комплексной неизвестной с :

Данное уравнение при двух вещественных неизвестных (реальной и мнимой частях с ) имеет бесконечное множество решений. Найдем потенциально наиболее интересные

решения. Если желателен вещественный алфавит, т.е. Re(c) c и с 2 с2 , то (6.29) пре-

вращается в квадратичное уравнение

с2 N2 с N1 0

теперь можно поделить на 1 c с целью сохранения +1 в качестве символа нового алфавита. После подобной операции приходим к следующему правилу преобразования бинарной минимаксной последовательности с периодической АКФ вида (6.12) в новую с идеальной АКФ: элементы, отвечающие –1, следует изменить на

а элементы +1 остаются без изменения.

Пример 6.11.1. Последовательность Лежандра или m – последовательность длины N 127 трансформируется в последовательность с идеальной периодической АКФ путем

Вышеприведенное решение приводит к алфавиту из двух противоположных символов различной амплитуды, т.е. к амплитудной модуляции (рис. 6.18, a). Другим воз-

Рис.6.18. Не противоположный бинарный алфавит.

можным вариантом служит ФМ не противоположный алфавит, который может быть определен в явном виде, если представить c как мнимое число c jc1. Тогда (6.29) имеет

179

Пример 6.11.2. Для N 127 cos 63/ 64 и arccos(63/ 64) 10 8 30 . Заме-

няя все отрицательные элементы бинарной m – последовательности или последовательно-

Только что рассмотренный скромный метод, который неоднократно предлагался и повторялся многими авторами [38, 39], с трудом может быть признан как эффективный с практической точки зрения. Как видно и что подтверждается примерами, он предписывает использование экзотических значений комплексных амплитуд кода, установка и поддерживание которых с требуемой точностью может оказаться чрезмерно затрудненной на практике.

6.11.2. Многофазные коды.

Привлечение недвоичной фазовой модуляции с M 2 открывает путь к многочисленным многофазным последовательностям с идеальной периодической АКФ. Известны различные правила их конструирования, однако в большей или меньшей степени все они являются производными двух наиболее распространенных алгоритмов. Первый из них, соответствующий кодам Чу (или квадратичных вычетов), вытекает непосредственным образом и аппроксимирует в дискретной форме закон линейной частотной модуляции (см. 6.2). Коды Чу существуют при произвольном значении длины N и формируются как

где i ,1,0,1, .

Легко проверить, что ai ai N для всех i и, значит, N – по крайней мере, кратно

периоду кода. В процессе вычисления периодической АКФ окончательно прояснится значение периода. Для кода четной длины ненормированная периодическая АКФ определяется в виде

При m 0mod N последняя сумма равна N , тогда как коэффициент, стоящий перед ней обращается в 1. Для любого другого m exp( j2im / N) зависит от i , а упомянутая выше сумма представляет собой сумму корней из единицы некоторой степени, или, что эквива-

Знаменатель последней дроби никогда не обращается в нуль за исключением m 0mod N и, следовательно, Rp (m) 0 при всех сдвигах, не кратных N . Таким образом, коды Чу,

определяемые первой строкой в (6.30), обладают периодом N и имеют идеальную периодическую АКФ. Аналогичным образом осуществляется доказательство и для нечетного значения N (см. задачу 6.29).

Несмотря на то, что коды Чу служат достаточно убедительным академическим примером ФМ последовательностей с идеальной АКФ, их практическая реализация вызы-

180

вает обоснованные сомнения, поскольку размер фазового алфавита линейно растет с увеличением длины и расстояние между соседними фазами становится чрезвычайно малым. Этим обстоятельством обусловлена возрастающая требовательность к точности формирования символов кода, качеству воспроизведения фаз, условиям эксплуатации и т.п.

Аналогичные недостатки (хотя и в несколько меньшей степени) характерны для второго популярного семейства многофазных кодов: кодов Франка. Они также осуществляют пошаговую аппроксимацию линейной частотной модуляции, однако значительно более грубую, и существуют только при значениях длин, представляющих квадрат целого

числа N h2 4,9,16,25,36,49, . Правило их формирования описывается соотношением

где, как обычно, x обозначает округление неотрицательного x в меньшую сторону.

Доказательство идеальности периодических корреляционных свойств кодов Франка отличается от ранее выполненного только незначительными деталями и составляет суть задачи 6.30. Из сравнения (6.31) и (6.30) очевидным образом следует, что фазовая града-

ция кодов Франка уменьшается N раз, так что увеличение объема алфавита с ростом N происходит значительно медленнее.

Пример 6.11.3. Возьмем N 4 h 2 . Тогда с приведением значений фаз к интер-

то код имеет вид 1,1, 1,1,1, j,1, j,1,1,1,1,1, j,1, j . Идеальность его

периодической АКФ может быть проверена непосредственным вычислением. Завершая рассмотрение многофазных кодов, отметим еще раз, что технологически

они не настолько привлекательны в сравнении с бинарными противоположными кодами. Существуют ли коды, которые не уступают бинарным в простоте практической реализации, но в отличие от них обладают идеальной периодической АКФ? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем параграфе.

6.11.3. Троичные последовательности.

Рассмотрим последовательность, элементы ai которой могут принимать в допол-

нение к бинарным значениям 1 еще и нулевое значение. Другими словами, используется троичный алфавит { 1,0,1} , который с практической точки зрения означает комбинирование бинарной ФМ с паузами, т.е. интервалами времени, в течение которых отсутствует передача символов. Совершенно очевидно, что расширение бинарного алфавита { 1} до троичного { 1,0,1} не приведет к серьезному усложнению схем формирования и обработ-

ки, но, как будет показано ниже, откроет путь к получению последовательностей с идеальными периодическими корреляционными свойствами. Напомним, что одной из основных причин проявления интереса к расширению спектра в задачах временного измерения и разрешения служит стремление к достижению высоких показателей при низкой пиковой мощности, т.е. при распределении энергии сигнала на большом временном интервале. В этих условиях совершенно оправданно использовать в качестве показателя эффективности распределения энергии во времени величину пик–фактора (см. параграф 2.7.1), т.е. от-

181

ношение пиковой и средней мощностей. Для любой ФМ, и в частности бинарной, энергия последовательности сигнала равномерно распределена на периоде, так что пиковая и

функцией синтеза является построение троичных последовательностей, обладающих не только идеальной периодической АКФ, но и малым числом нулей N p на периоде, т.е.

пик–фактором, незначительно превышающим единицу. Без введения подобного ограничения задача становится вырожденной и имеет тривиальное решение: код с одним только ненулевым символом на периоде N , соответствующим одиночному чипу, повторяющемуся с периодом N , обладает, несомненно, идеальной периодической АКФ.

В настоящее время известен целый ряд правил, позволяющих генерировать троичные последовательности с только что упомянутыми свойствами. Наиболее мощное из них формирует последовательности длиной и значением пик–фактора, устанавливаемыми

довательно, выбирая достаточно большое q , можно добиться сколь угодно близкого к

единице значения пик–фактора.

Построение троичных последовательностей, удовлетворяющих (6.32), основано на некоторых специфических свойствах полей Галуа. Простейшие из них и в то же время, охватывающие большинство длин, определяемых (6.32), отвечают случаю нечетного

p (q pw, p 2) [40, 41]. Для представления идеи в наиболее явном виде рассмотрим детальное описание алгоритма только для случая q p , т.е. w 1. Наиболее просто это возможно сделать с помощью привлечения p –ичных m –последовательностей.

Пусть di , i ,1,0,1, – p –ичная m –последовательность, где p – простое не-

четное число. Каждый символ последовательности является элементом простого поля GF( p) . Преобразуем последовательность в троичную, отображая нулевой элемент в ве-

щественный нуль, а ненулевые элементы в их двузначные характеры. После подобного преобразования изменим знаки всех элементов, стоящих на нечетных позициях. Формально, предложенный алгоритм может быть представлен следующим соотношением

где i , 1,0,1, . На рис. 6.19 представлена структура, реализующая данное правило,

включая генератор m –последовательности, блок отображения элементов m – последовательности в значения характера или нуль, и умножитель, обеспечивающий изменение полярности.

Для вычисления величины пик–фактора троичной последовательности (6.33) достаточно вспомнить, что период m – последовательности составляет L pn 1, а свойство

сбалансированности утверждает, что на одном периоде содержится L0 pn 1 1 нулей. Все они и никакие другие образуют нули в троичной последовательности, следовательно,

182

на периодическом сегменте из L элементов троичной последовательности ровно L0 элементов составляют нули, откуда величина пик–фактора будет

что совпадает с (6.32) при q p . Доказательство того, что последовательность (6.33) обладает периодом, устанавливаемым соотношением (6.32), и идеальной периодической АКФ требует привлечения еще одного свойства псевдослучайности m – последовательностей, доказательство которого заинтересованный читатель может найти в [42]. Для фор-

все пары (di , di m ) элементов p –ичной m –последовательности, разделенные m позициями, при пробегании i интервала одного периода (i 0,1, , L 1) . Тогда (свойство парности), если m не кратно h ( m lh для некоторого целого l ), то среди пар (di , di m )

пара вида (0, 0) встречается pn 2 1 раз, а любая другая пара (x, y) фиксированных зна-

чений x, y GF( p) – pn 2 раз. В противном случае, если m lh , то в парах (di , di m )

второй элемент строго определяется первым: di m l di , где , как обычно, примитивный элемент поля GF( p) .

С учетом того, что «истинный» (т.е. до сих пор неизвестный) период N троичной последовательности (6.33) есть некоторый делитель периода L исходной m – последовательности, вычислим не нормированную периодическую АКФ троичной последовательности на интервале L , содержащем L / N периодов:

где в последней сумме отброшены слагаемые, для которых di di m 0 , как вносящие нулевой вклад. Рассмотрим первоначально случай, когда сдвиг m не кратен h (m lh) . Тогда, в соответствие со свойством парности, среди всех пар (di , di m ) в (6.34) любая пара

(x, y) ненулевых фиксированных x, y GF( p) встречается ровно pn 2 раз. Данный факт позволяет вычислить (6.34) следующим образом

183

вследствие свойства характера (6.21). Обратимся теперь к случаю, когда величина сдвига делится на h (m lh) . Тогда согласно свойству парности в сумму (6.34) входят только па-

ры вида (di , di m ) (x, l x), x GF( p) . Однако, в соответствие со свойством сбалансиро-

ванности каждый период p –ичной m –последовательности содержит ровно pn 1 каждого из ненулевых фиксированных элементов GF( p) . Следовательно, используя свойство мультипликативности характеров (6.20), получаем

го числа нечетных целых и, следовательно, сама нечетна. По этой причине l(h 1) являет-

ся четным числом вне зависимости от l и, значит, Rp (lh) pn 1( p 1) NL . Отсюда видно,

что значение Rp (lh) одно и то же для любого целого l , тогда как из (6.35) следует, что Rp (m) 0 при m lh . Таким образом, Rp (m) как функция от m повторяется с периодом h и, следовательно, истинный период троичной последовательности определяется как

дим к окончательному результату, демонстрирующему идеальность периодической АКФ

тельностью из примера 6.6.2: 1,0,0,2,0,2,1,2,2,1,0,2,2,2,0,0,1,0,1,2,1,1,2,0,1,1, . В поле

GF(3) имеются только два ненулевых элемента, из которых только 2 является примитивным. Очевидно, что (1) 1, (2) 1 и, следовательно, все ненулевые элементы m – по-

следовательности заменяются, как 1 1, 2 1, и нули отображаются в вещественный нуль. В результате получаем троичную последовательность периода 26

1,0,0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, 1,0,0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, .

Замена знака у элементов, стоящих на нечетных позициях (начиная индексацию с нуля), дает результирующую троичную последовательность вида

1,0,0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, 1,0,0, 1,0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 1, ,

имеющую период N 13 и пик–фактор 13/ 9 1.445 . Идеальность ее периодической

184

АКФ может быть проверена непосредственным вычислением. Можно исключить операцию чередования знака у элементов с нечетными значениями позиций в правиле (6.33), а в генераторе на рис. 6.19 вместо m – последовательностей использовать некоторые специальные линейные последовательности меньшего периода. С этой целью коэффициенты fi в рекурсии (6.13) и обратной связи LFSR генерато-

ра должны принадлежать соответствующему не примитивному неприводимому полиному степени n . Теоретическое обоснование этому может быть найдено в [41]. Примеры подобных полиномов третьей степени, позволяющие избавиться от чередования знаков в (6.33), приведены в таблице 6.5 для p 31. Последние две колонки таблицы содержат значения не максимального периода L линейной последовательности, генерируемой с помощью регистра сдвига, и периода N результирующей троичной последовательности. Еще одним достоинством этих полиномов является то, что противоположный, по меньшей мере, одну из коэффициентов полинома элемент равен 1, а, значит, умножение на него сводится к простому соединению с сумматором.

Таблица 6.5. Непримитивных полиномов над простым полем.

Пример 6.11.6. Сформируем троичную последовательность, отвечающую p 3, n 3 , используя полином x3 2x 2 из табл. 6.5. Тогда рекуррентное соотношение (6.13) принимает вид di di 2 di 3 , при начальном состоянии d0 1, d1 d2 0 генерируя линейную последовательность над GF(3) вида 1,0,0,1,0,1,1,1,2,2,0,1,2 периода L 13 . После отображения ее ненулевых элементов в их характеры, а нулевых в вещественный нуль будет сформирована троичная последовательность периода N 13 , идентич-

следует непосредственно, и правило (6.32) сохраняет свою значимость. Единственное отличие заключается в том, что m – последовательность {di } является теперь q –ичной, т.е.

с элементами, принадлежащими расширенному (в отличие от простого) конечному полю GF(q) . Арифметические операции в расширенных полях есть нечто иное, чем операции

по модулю q , и поэтому не считаем рациональным подробно останавливаться здесь на

этих деталях. Заинтересованный читатель может более подробно ознакомиться с ними в

[40-41].

В отличие от ранее рассмотренного материала, алгоритм конструирования троич-

185

ных последовательностей для q 2w , также обеспечивающих идеальность их периодиче-

ской АКФ, основан на значительно более сложных математических понятиях, таких как квадрики в конечных полях [42].

Если любую из рассмотренных троичных последовательностей посимвольно умножить на единственную бинарную последовательность 1,1,1, 1, имеющую идеальную

периодическую АКФ, результирующая троичная последовательность будет характеризоваться учетверенной длиной без изменения значения пик–фактора и идеальности АКФ. Аналогичным образом, посимвольное произведение двух троичных последовательностей с идеальной АКФ и взаимно простыми длинами N1, N2 также будет обладать идеальной

АКФ, длиной N N1N2 и пик–фактором 1 2 , где i определяет значение пик– фактора i –й последовательности ( i 1, 2 ).

Таблица 6.6 содержит значения длин и пик–фактора последовательностей с параметрами q, p,n из диапазона N 1057 , формируемых согласно описанному алгоритму.

Строки, в которых значения длины представлены в виде произведения, соответствуют последовательностям, получаемым в результате посимвольного произведения исходной троичной последовательности с бинарной последовательностью вида 1,1,1, 1. В этом случае

параметры q, p,n отвечают исходной троичной последовательности. Как следует из таб-

лицы, для многих приведенных кодов характерно пренебрежимо малое значение пик– фактора, что дает разработчику достаточно привлекательную альтернативу лучшим бинарным кодам, при желательности идеальной периодической АКФ.

Таблица 6.6. Параметры троичных последовательностей с идеальной ПАКФ.

186

6.12. Подавление боковых лепестков вдоль оси задержек.

Предположим, что проектировщик системы не склонен отвергать бинарные { 1} последовательности и, в то же время, не удовлетворен достижимым уровнем боковых лепестков их периодической АКФ ( 1/ N) . В подобных условиях эффективным спо-

собом разрешения этих противоречивых устремлений служит «имитация» идеальной периодической АКФ путем отказа от согласованной фильтрации в пользу специальной рассогласованной обработки, позволяющей подавить боковые лепестки на всем периоде сигнала. Очень близкие идеи лежат в основе уменьшения или подавления апериодических боковых лепестков [39,44,45], также как в стремлении побороть межсимвольную интерференцию с помощью нуль–форсирующих эквалайзеров [2,5,7], однако в наиболее прозрачной форме они проявляются в случае применения к периодическим сигналам

[39,46,47].

6.12.1. Фильтр подавления боковых лепестков.

Рассмотрим некоторую последовательность ,ai 1, ai ,ai 1, периода N , которая

манипулирует чипы длительности , и фильтр с конечным импульсным откликом (FIR), осуществляющий суммирование N сигнальных копий, задержанных на и взвешенных

представлено ниже, может быть применено к последовательностям произвольного алфавита, однако представляется рациональным ограничиться только бинарным { 1} алфави-

том, поскольку вне этого ограничения существует множество последовательностей с идеальной периодической АКФ, тем самым лишая задачу подавления боковых лепестков обоснованной мотивации. Соответственно, положим, что коэффициенты фильтра bi ,i 0,1, , N 1 являются вещественными.

При подаче последовательности ai , i ,1,0,1, отклик фильтра описывается последовательностью ci , i ,1,0,1, , элементы которой находятся операцией свертки

187