Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей средней, служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений усредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются негруппированные индивидуальные значения признака):

х͞ _{ариф пр.==}

где x_1,x₂,…,x_n - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n - число единиц совокупности.

Пример. Требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно,

cколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19;20. Средняя арифметическая простая равна:

х͞ _р = ==19,8

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин x_1,x₂,…,x_n - вычисляются по формуле:

х͞_{ариф. взвеш.} =

где ƒ_i - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

сумма произведении величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Иначе говоря, средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в таблицу:

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.	Число рабочих (веса) ƒ	Х*ƒ
18	2	36
19	4	76
20	5	100
21	3	63
22	1	22
итого	15	297

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Х_{ариф. взвеш.}= =19,8

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

х͞ _{ариф. взвеш.} =

где d = - частота, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных, частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, применяются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних