лекция 7,8
.pdf
было универсальным, т.е. чтобы на нем можно было выполнять любой алгоритм. Механизм работы машины должен быть максимально простым по логической структуре, но настолько точным, чтобы эта структура могла служить предметом математического исследования. Модели таких устройств были предложены американским математиком Эмилем Постом в 1936 (машина Поста) еще до создания современных вычислительных машин и (практически одновременно) английским математиком Аланом Тьюрингом (машина Тьюринга).
Основной вывод заключался в том, что вопрос о возможности построения конкретного алгоритма сводится к в вопросу возможности построения абстрактной машины. В 1970 машина Поста была разработана в металле в Симферопольском университете. Машина Тьюринга была построена в металле в 1973 в Малой Крымской Академии Наук.
Машина Поста – это абстрактная (несуществующая реально) вычислительная машина, созданная для уточнения (формализации) понятия алгоритма. Представляет собой универсальный исполнитель, позволяющий вводить начальные данные и читать результат выполнения программы. В 1936 г. американский математик Эмиль Пост в статье описал систему, обладающую алгоритмической простотой и способную определять, является ли та, или иная задача алгоритмически разрешимой. Если задача имеет алгоритмическое решение, то она представима в форме команд для машины Поста.
Машина Поста состоит из ленты и каретки (называемой также считывающей и записывающей головкой). Лента бесконечна и разделена на секции одинакового размера — ячейки.
Вкаждый момент времени каретка указывает на одну из ячеек
Вкаждой ячейке ленты может быть либо ничего не записано, либо стоять метка V. Информация о том, какие ячейки пусты, а какие содержат метки, образует состояние ленты. Иными словами, состояние ленты — это распределение меток по ячейкам. Состояние ленты меняется в процессе работы машины. Заметим, что наличие метки в ячейке можно интерпретировать как ―1‖, а отсутствие — ―0‖. Такое двоичное представление информации подобно представлению, используемому практически во всех современных ЭВМ.
Каретка может передвигаться вдоль ленты влево и вправо. Когда она неподвижна, она стоит против ровно одной ячейки ленты; говорят, что каретка обозревает одну ячейку. За единицу времени каретка может совершить одно из трех действий: стереть метку, поставить метку, совершить движение на соседнюю ячейку. Состояние машины Поста складывается из состояния ленты и положения каретки.
Действия каретки подчинены программе, состоящей из перенумерованного набора команд (команды можно представлять как строки программы). Команды бывают шести типов:
1.записать 1 (метку), перейти к i-й строке программы;
2.записать 0 (стереть метку), перейти к i-й строке программы;
3.сдвиг влево, перейти к i-й строке программы;
4.сдвиг вправо, перейти к i-й строке программы;
5.останов;
6.если 0, то перейти к i, иначе перейти к j.
Приведем список недопустимых действий, ведущих к аварийной остановке машины:
попытка записать 1 (метку) в заполненную ячейку;
попытка стереть метку в пустой ячейке;
бесконечное выполнение (вообще говоря, это трудно назвать аварийным остановом, но бессмысленное повторение одних и тех же действий — зацикливание — ничуть не лучше вышеперечисленного).
Машина Поста, несмотря на внешнюю простоту, может производить различные вычисления, для чего надо задать начальное состояние каретки и программу, которая эти вычисления сделает. Машиной эта
математическая конструкция названа потому, что при ее построении используются некоторые понятия реальных машин (ячейка памяти, команда и др.). Условимся каждый шаг программы обозначать номером. Команды машины будем обозначать следующим образом:
Будем говорить, что мы можем применить программу к текущему состоянию машины Поста, если выполнение программы не приведет к зацикливанию, т.е. рано или поздно мы выполним команду останов.
Пример программы, которая не применима ни к одному состоянию машины Поста:
Рассмотрим задачу для машины Поста и ее решение.
Задача. На ленте проставлена метка в одной-единственной ячейке. Каретка стоит на некотором расстоянии левее этой ячейки. Необходимо подвести каретку к ячейке, стереть метку и остановить каретку слева от этой ячейки.
Решение. Сначала попробуем описать алгоритм обычным языком. Поскольку нам известно, что каретка стоит напротив пустой ячейки, но неизвестно, сколько шагов нужно совершить до пустой ячейки, мы можем сразу сделать шаг вправо; проверить, заполнена ли ячейка; если она пустая, то повторять эти действия до тех пор, пока не наткнемся на заполненную ячейку. Как только мы ее найдем, мы выполним операцию стирания, после чего нужно будет лишь сместить каретку влево и остановить выполнение программы.
Программа для машины Поста:
Решение арифметической задачи:
На ленте задан массив меток. Увеличить длину массива на 2 метки. Каретка находится либо слева от массива, либо над одной из ячеек самого массива.
Решение.
1.? 2; 3 команды 1 и 2 — передвигают каретку к массиву
2.→ 1
3.→ 4 команды 3 и 4 — передвигают каретку к концу массива
4.? 5; 3
5.V 6 команды 5–7 — ставят 2 метки в конце массива
6.→7
7.V 8
8.!
Следующая задача На ленте имеется некоторое множество меток (общее количество меток не менее 1). Между метками
множества могут быть пропуски, длина которых составляет одну ячейку. Заполнить все пропуски метками. Решение.
На ленте машины Поста расположен массив из n меток. Составить программу, действуя по которой машина выяснит, делится ли число n на 3. Если да, то после массива через одну пустую ячейку поставить метку.
Решение. Нужно проверить, что массив состоит не менее чем из трех меток, сместиться правее них и снова решать ту же задачу. Если правее очередных трех меток окажется пробел, то за ним поставить еще одну метку.
Устройство машины Поста считается более простым по сравнению с машиной Тьюринга, хотя они практически одинаковы. В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделѐнная на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.
Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.
Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Можно сказать, что машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий.
Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае машины Тьюринга — лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга на ней можно вычислить всѐ, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой.
Внастоящее время теория алгоритмов развивается, главным образом, по трем направлениям.
Классическая теория алгоритмов изучает проблемы формулировки задач в терминах формальных языков, вводит понятие задачи разрешения, проводит классификацию задач по классам сложности.
Теория асимптотического анализа алгоритмов рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоемкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов (вызывающих самих себя до выполнения некоторого условия). Асимптотический анализ позволяет оценить рост потребности алгоритма в ресурсах (например, времени выполнения) с увеличением объема входных данных.
Теория практического анализа вычислительных алгоритмов решает задачи получения явных функции трудоѐмкости, интервального анализа функций, поиска практических критериев качества алгоритмов, разработки методики выбора рациональных алгоритмов.
Строгая теория алгоритмов находит свое применение в теории автоматов. Автоматом называют устройство, которое без вмешательства человека выполняет обработку информации по заложенной в него программе. В информатике автоматэто дискретный преобразователь сигналов, который преобразует входные сигналы в выходные, переходя при этом через некоторое множество промежуточных внутренних состояний. Если множество внутренних состояний конечно, то автомат называется конечным автоматом. Конечные автоматы используются для построения моделей компонентов АО и ПО, т.е. в общем случае для изучения абстрактных вычислительных устройств.