шапкин задачи с решениями

12.Теория вероятностей

12.1.Случайные события

12.1.1.В ящике находятся (m + 3) одинаковых пар перчаток черного цвета и (n + 2) одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перча тки образуют пару.

12.1.2.В урне находятся 3 шара белого цвета и (n + 1) шаров черного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятност ь того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров.

12.1.3.В урне находятся (m + 2) белых (n + 2) черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возв ращения в урну.

Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

12.2.Случайные величины

12.2.1.Закон распределения дискретной случайной величины x имеет вид:

Найти вероятности p4, p5, и дисперсию D (X), если математи- ческое ожидание М (Х) = –0,5 + 0,5m + 0,1n.

12.2.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) функцию распределения F (x);

421

13.2. Построение уравнения прямой регрессии

Двумерная выборка результатов совместных измерений при - знаков x и y объемом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:

задаче 13.1.2).

13.2.2.Построить уравнение прямой регрессии Y на Х в виде yx = ax + b, Õ è σõ следует взять из задачи 13.1.2.

13.2.3.На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки (xi, yj) и построить прямую yx = ax + b.

Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется най-

реляции, для расчета которого можно воспользоваться мето дом четырех полей.

423

14.Линейное программирование

14.1.Задача оптимального производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность аij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль сj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

14.1.1.Для производства двух видов продукции I и II с пла-

íîì õ1 è õ2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, пред полагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

14.1.2.В условиях задачи 14.1.1. составить оптимальный план

(õ1, õ2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс – методом).

14.1.3.Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план п роизводства геометрическим путем. Определить соответствующую

прибыль Zmax.

14.2. Транспортная задача

На трех складах А1, À2 è À3 хранится а1 = 100, à2 = 200 è à3 = 60 + 10n единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям В1, Â2 è Â3, заказы которых составляют b1 = 190, b2= 120 è b3 = 10m единиц груза соответственно.

424

Стоимости перевозок сij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клет ок транспортной таблицы:

3

14.2.1. Сравнивая суммарный запас a = å ai и суммарную по-

i=1

3

требность b = å bj в грузе, установить, является ли модель

j=1

транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо зак рыть,

èположив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.

14.2.2.Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)

14.2.3.Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если эт о не так, то составить оптимальный план

обеспечивающий минимальную стоимость перевозок

3

Smin = å ñij xij . Найти эту стоимость.

i, j=1

425

15. Математические методы в экономике

15.1. Сетевое планирование

Процесс производства сложной продукции разбивается на о т- дельные этапы, зашифрованные номерами 1, 2, …, 10. 1 — на- чальный этап производства продукции, 10 — завершающий. Переход от i-го этапа к j-му этапу назовем операцией. Возможности выполнения операций (i > j) и их продолжительности tij задаются таблицей.

15.1.1.Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружка ми,

àоперации i → j обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность tij операции.

15.1.2.Считая, что начало работы происходит во время t1 = 0, определите время tp ( j ) окончания каждого j-го этапа и время tï (i) позднего допустимого срока наступления i-го события.

15.1.3.Найдите критическое время завершения процесса работ Têð и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

15.1.4.Для каждой операции i → j определите резервы свободного времени СPij, полный резерв ПPij , независимый резерв НPij

èгарантийный резерв ГPij . Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути подчеркните.

426

15.2. Задача межотраслевого баланса

Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат

в которой число аij, стоящее на пересечении i-й строки и j-го столбца равно хij / Õj, ãäå õij – поток средств производства из i-й отрасли в j-ю, а Хj – валовой объем продукции j-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

15.2.1.Составить уравнения межотраслевого баланса.

15.2.2.Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то

есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли Х1, Õ2, Õ3, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовлени е конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точ- ностью до трех знаков после запятой).

15.2.3.Составить матрицу Х потоков средств производства хij.

15.2.4.Определить чистую продукцию каждой отрасли

3

Pj = X j - åxij.

i=1

15.2.5.Результаты расчетов оформить в виде таблицы межот-

раслевого баланса:

427

СПИСОК УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

2.Белов Б. А. Сборник контрольных заданий по курсам высшей математики и математических методов в экономике для студ ен- тов-заочников всех специальностей / Под ред. д.ф.м.н., проф. К. А. Самарова. – М: Изд-во МГУ сервиса. 2000.

3.Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

4.Гмурман В. Е. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1980.

5.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1980.

6.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 1, 2. – М.: Высшая школа, 1980.

7.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1972.

8.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

9.Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус той- чивости. – М.: Наука, 1981.

10.Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998.

11.Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Велощенко А. Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

12.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14-е изд. испр. – М.: Издательство физи- ко-математической литературы, 2000.

13.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1978.

14.Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. – М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

15.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г.

Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 1999.

16.Четыркин Е. М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982.

17.Шапкин А. С., Мазаева Н. П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2003.

428

ОГЛАВЛЕНИЕ

429

430