шапкин задачи с решениями

2. Найти общее решение системы в виде

x1 = f (x3, x4, x5), x2 = j (x3, x4, x5).

3. Найти частное решение системы a = (x1, x2 , x3, x4 , x5 ), положив х3 = m, õ4 = n, õ5 = m – n и проверить систему.

1.5.Собственные числа и собственые векторы

1.5.1.Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы

2.Аналитическая геометрия

2.1.Прямая на плоскости

2.1.1.На прямую mx + ny – m2 – n2 = 0, способную отражать лучи, падает луч 2nx + my – 3mn = 0. Составить уравнение отраженного луча.

2.1.2.Дан треугольник АВС с вершинами А (m + 1; n + 1), B (m; –n) и С (–m; n). Найти:

а) величину угла А; б) координаты точки пересечения медиан;

в) координаты точки пересечения высот; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника АВС;

е) систему неравенств, задающих область внутри треугольн и- ка АВС, и сделать чертеж.

2.2.Кривые второго порядка на плоскости

2.2.1. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (n; m) к расстоянию до прямой x = –m равно mn . Привести это уравнение у каноническому виду и определить тип кривой.

411

2.3. Прямая и плоскость в пространстве

2.3.1. Пирамида SABC задана вершинами S (m; n; m + n), A (m + 1; –n; –m), B (–n; m + 1; –n), C (–n; –m; –m – n). Найти:

а) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С; б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС и ее длину;

д) объем пирамиды SABC.

3.Дифференциальное исчисление

3.1.Построение графиков элементарных функций

3.1.1. С помощью смещения, растяжения и отражения графиков функций y = x2 è y = x1 построить графики функций:

à) y = | x2 − 2mx + m2 − n2 |;

á) y = mx + n . m − nx

3.2. Пределы, непрерывность и разрывы функций

3.2.1. Найти пределы функций:

412

3.2.2. В точках х1 = 0 è õ2 = n для функции f (x) установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нар исовать график функции f (x) в окрестностях этих точек:

3.3.Производные функций

3.3.1.Найти производные y′(x) функций:

ä) y = (nx)sin (mx); e) emx+ny - mynx = mn;

ìx = ln (mt) + nt + m, æ) íîy = nt2 + 2t + mn.

3.4.Приложения производной

3.4.1.Составить уравнения касательных к графику функции

y = mxmx +- nn , параллельных прямой 2mx + ny + mn = 0.

3.4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = 2õ3 + 3 (m – n) õ2 – 6mnх + 1 на отрезке [m – n; m + n].

3.4.3.С помощью методов дифференциального исчисления

413

3.5.Приближенное решение алгебраических уравнений

3.5.1.Для уравнения mх – cos (nх) = 0 отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью ε = 0,01:

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность ε достигнута, если

разность между соседними приближениями xk + 1 è xk удовлетворяет неравенству | xk + 1 – xk | < ε.

4.Интегральное исчисление

4.1.Неопределенный интеграл

4.1.1.Найти интегралы:

4.2.Несобственные интегралы

4.2.1.Вычислить интегралы или установить их расходимость:

4.3.Применения определенных интегралов

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фи-

гуры, ограниченной линиями:

à) y = õ2 + mõ – n2, (mn + n2) x – (m + n) y + m2n – n3 = 0; á) (x2 + y2)2 = 2 (m + n)2 xy.

4.3.2. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

y = 0, y = x2 , mx + ny - m2 - mn = 0. m

414

4.4. Приближенное вычисление определенных интегралов

10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенные значения J10 è J20:

а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона.

Оценить точность приближения с помощью разности

ε= | J10 – J20 |.

5.Функции нескольких переменных

5.1.Частные производные и дифференциал функции

5.1.1.Найти частные производные z′x , z′y è z′xy′ функций:

à) z = (x – m)2 · yn + xm · (y + n)3 + mn;

x−m

á) z = e y−n .

5.1.2.Найти дифференциал dz функции z = sin2 (mx2 – ny2).

5.1.3.Показать, что функция z = y · ln (mx2 – ny2) удовлетворя-

ет уравнению n ×z¢x + m ×z¢y = mz . x y y2

5.2.Приложения частных производных

5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали

êповерхности 4z = xy – nx – my + mn в точке (–m; –n; mn).

5.2.2.Для функции z = ln (mx2 + ny2) в точке А (–n; m) найти градиент и производную по направлению a = m×i - n× j.

5.2.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4x2 + y2 – 4mx – ny + m2 + n2 в области, заданной неравенствами: x ³ 0; nx – my £ 0; x + y – m – n £ 0.

415

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

6.1.Двойные интегралы

6.1.1.Изменить порядок интегрирования:

0my/ n

6.1.2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного по-

верхностями z = 0, y = x2 и плоскостью, проходящей через точки А (n; n2; 0), B (–m; n2; 0) è Ñ (0; 0; m + n).

6.1.3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограничен-

ной линиями:

à) y = 0, y = x2, ny = –m2 (x – m – n); á) õ2 + y2 ³ 6, õ2 + y2 £ 2nx + 2ny.

6.2.Тройные интегралы

6.2.1.Найти òòò x dx dy dz, если тело V ограничено плоскостя-

V

ìè x = 0, y = 0, n2x + m2y – mnz = 0 è x + y + z – m – n = 0.

6.2.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями nz = x2 + y2, z = n, x = 0, ny = mx.

6.3.Криволинейные интегралы

6.3.1.Вычислить

ò P (x, y) dx + Q (x, y) dy,

C

где P (x, y) = ny + 2x, Q (x, y) = mx + 2y, а контур С образован линиями n2y = m2x2, y = m2, x = 0:

a) непосредственно; б) по формуле Грина.

416

6.3.2.Вычислить

ò(2x + mz) dx + (2y + nz) dy - 2 (m + n) zdz,

C

7.Элементы теории поля

7.1.Дифференциальные операции

7.1.1.Найти в точке А (–n; –m; 0) градиент скалярного поля

u = z + m + n . mx + ny

7.1.2. Найти в точке B (n; m; m + n) дивергенцию векторного поля

7.1.3. Найти в точке С (m; n; 1) ротор векторного поля

7.2. Интегралы и интегральные теоремы

7.2.1. Убедиться, что поле F (x, y, z) = mz Ч i + nz Ч j + (mx + ny) Ч k потенциально, и найти его потенциал.

7.2.2. Äàíû ïîëå F = (my2 - nz2 )×i + (nx2 - mz2 )× j + (m + n) xy×k

а) поток поля F через грань АВС пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ОZ;

417

б) поток поля F через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;

в) циркуляцию поля F вдоль замкнутого контура АВС: в1) непосредственно;

â2) с помощью теоремы Стокса (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).

8.Дифференциальные уравнения

8.1.Уравнения первого порядка

8.1.1.Найти общее решение уравнения:

à) y ¢ = emx – ny;

á) (nx – my) · y¢ = mx + ny; â) (m2 + x2 )× y¢ + ny = arctg mx ;

ã) y¢ + mxy = x2 × yn+1.

8.1.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным m величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла n миллионов рублей.

8.2.Линейные уравнения высших порядков

8.2.1.Решить задачу Коши:

8.3.Системы линейных уравнений

8.3.1.Решить систему линейных уравнений

ìdx = -

ï dt mx ny, íïdy = nx + my, î dt

с начальными условиями x (0) = 1, y (0) = 2.

418

9.Ðÿäû

9.1.Числовые ряды

9.1.1.Исследовать на сходимость ряды с положительными чле-

íàìè:

9.2.Степенные ряды

9.2.1.Найти область сходимости степенного ряда:

9.2.2. Разложить функцию f (х) в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

9.2.3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с

точностью 0,001 значения: а) е–n;

9.3.Ряды Фурье

9.3.1.Разложить функцию f (х) в ряд Фурье в указанном интервале: f (х) = (x – m)2 в интервале (0, m).

419

10.Функции комплексного переменного

10.1.Действия с комплексными числами

10.1.1.Выполнить действия:

à) (m + in)2 · (n – im);

á) m − in . n + im

10.2.Аналитические функции

10.2.1.Показать, что функция f (z) = (z + m)2 + z – ni аналитична.

10.3.Интегрирование функций комплексного переменного

в окрестности точки z0 = 0 в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.

10.5. Вычеты и их приложения

11.Приложения операционного исчисления

11.1.Решить операционным методом дифференциальное урав-

нение:

x² + (m – n)x¢ – mnx = e(m–n)t, x(0) = 0, x¢(0) = m.

420