шапкин задачи с решениями

Рассчитываем aik по формуле (7.21) и записываем в табл. 7.15 в углах соответствующих клеток.

Найденные коэффициенты прямых затрат и образуют неотрицательную матрицу прямых затрат:

Подставляя в уравнение (7.20) соотношения (7.22) получим:

k=1

Систему уравнений МОБ (7.24) запишем в матричной форме

где Е — единичная матрица, А — матрица прямых затрат (7.23), Х и Y — столбцовые матрицы

7.2.2.2. Полные внутрипроизводственные затраты

Пусть матрица

тогда из (7.25): (E – A)–1 · (E – A) · Õ = (E – A)–1 · Y è, òàê êàê (E – A)–1 · (E – A) = E и ЕХ = Х, то получаем, что объемы произ-

водства отраслей Х определяются как

по заданным величинам конечного продукта потребления Y и матрице Р, которую называют матрицей коэффициентов полных затрат.

401

Элементы матрицы Р включают не только затраты i-й продукции, необходимой для создания одной единицы k-й продукции, но и те затраты, которые необходимы для создания в кажд ой отрасли одной единицы конечного продукта.

7.2.2.3. Косвенные затраты

Значит полные затраты Рik включают как прямые аik так и косвенные (Рik – àik) затраты. Очевидно, что всегда Рik ³ àik, точнее

Матрицы А2, À3, … , Àm,… называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 1-го, 2-го и т.д. порядков и коэффициенты полных затрат получают в виде суммы коэффициентов пр я- мых затрат и косвенных затрат.

Прямые затраты не отражают в полной мере сложных количе- ственных взаимосвязей, наблюдающихся в народном хозяйст ве. Они в частности не отражают обратных связей, имеющих дале ко не маловажное значение.

Как возникают косвенные затраты? Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, стал ь, и т.д., но для производства стали также нужен чугун. Таким обр а- зом, кроме прямых затрат чугуна, имеются и косвенные затра ты чугуна, связанные с производством трактора. В эти косвенн ые затраты входит и чугун, необходимый для создания того кол и- чества чугуна, которое составляет прямые затраты. Эти кос венные затраты могут иногда существенно превышать прямые за т- раты.

Исходя из (7.27), валовый выпуск k-й отрасли хk определяется как

Модель межотраслевого баланса (7.24), (7.25) или (7.29) позволяет решить следующие задачи:

1)определить объем конечной продукции отраслей y1, y2, …, yn по заданным объемам валовой продукции х1, õ2, …, õn;

2)по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат Р, элементы

402

которой служат важными показателями для планирования ра звития отраслей;

3)определить объем валовой продукции отраслей х1, õ2, …, õn по заданным объемам конечной продукции y1, y2, …, yn.

4)по n заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей х1, ó2, õ3, ó4, … определить оставшиеся n объемов.

7.2.2.4. Решение типовой задачи

Рассмотрим пример составления межотраслевого баланса п роизводства и распределения продукции для трехотраслевой экономической системы, заданной матрицей коэффициентов прямы х затрат А и вектором конечной продукции Y:

Найти коэффициенты полных затрат: плановые объемы валовой продукции Х = (х1, õ2, õ3); величину межотраслевых потоков, т.е. значения хik (i = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3); матрицу косвенных затрат; по заданному вектору увеличения косвенного выпуска прод укции

Y определить изменение плана Х. Находим матрицу (Е – А):

Для определения матрицы полных затрат (7.28) обращаем матрицу K.

Первый способ нахождения K –1 = (E – A)–1. Вычисляем определитель

403

Так как | K | ¹ 0, то существует матрица K –1 = P обратная заданной матрице K.

Находим алгебраические дополнения для элементов матриц ыK.

Из алгебраических дополнений составляем транспонирован - ную матрицу и, деля ее на | K |, получаем обратную матрицу K –1:

Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы K –1 с помощью жордановых исключений. Составляем табл. 7.17.

Ò à á ë è ö à 7.17

Совершаем последовательно три шага жордановых исключе- ний, меняя местами bi è õk, получаем табл. 7.18—7.20.

404

Ò à á ë è ö à 7.18

Внутри табл. 7.20 стоит обратная матрица K –1. Округляя до третьего знака после запятой, имеем:

405

Находим объем производства отраслей (валовая продукция) :

Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех от - раслей, необходимые для обеспечения заданного уровня кон ечной продукции равны:

õ1 = 102,2; õ2 = 41,0; õ3 = 26,4.

Для составления баланса рассчитываем межотраслевые пот о- ки средств производства по формуле (7.22):

Результаты вычислений представим в форме межотраслевог о баланса (табл. 7.21). Величина чистой продукции определяется здесь как разница между валовой продукцией отрасли и сумм ой межотраслевых потоков в каждом столбце.

Ò à á ë è ö à 7.21

На основе заданных матриц Y и A по уровню конечного продукта и коэффициентов прямых затрат получен полностью сб а- лансированный план общего производства продукции и ее ра с-

406

пределения как между отраслями в качестве средств произв одства, так и для конечного использования.

Матрицу косвенных затрат найдем из формулы (7.28):

Определяем изменение плана Х, которое потребуется при увеличении конечного выпуска продукции 1-й отрасли на 20, 2-й — на 10 и 3-й — на 5 (единиц).

Следовательно, потребуется увеличить валовый выпуск 1-й отрасли на х1 = 38,1, 2-й отрасли на х2 = 18,2 и 3-й отрасли на 10,6 (единиц).

407

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

В первом семестре, студенты выполняющие одну контрольную работу, решают задачи: 1.4.2; 2.1.2; 2.3.1; 3.2.1; 3.3.1; 3.4.3.

Если по графику студенты должны сдать две контрольные работы, то в 1-ю входят задачи: 1.4.1; 1.4.2; 2.1.2; 2.2.1; 2.3.1, а во 2-ю: 3.2.1; 3.2.2; 3.3.1; 3.4.2; 3.4.3.

Номера задач контрольных работ, которые Вы будете выполнять в других семестрах, следует узнавать заранее на зачетно-эк- заменационных сессиях при чтении Вам лекций.

Студенты спец. 061800 «Математические методы в экономике» в первом семестре выполняют две контрольные работы по «Высшей алгебре». В 1-ю входят задачи: 1.1.1; 1.2.1; 1.3.1; 1.4.1; 1.4.2; 1.4.3, а во 2-ю; 2.1.1; 2.1.2; 2.2.1; 2.3.1.

Студенты спец. 0618 «Математические методы в экономике» в первом семестре также выполняют две контрольные работы по «Математическому анализу». В 1-ю входят задачи: 3.1.1; 3.2.1; 3.2.2; 3.3.1, а во 2-ю: 3.4.1; 3.4.2; 3.4.3; 3.5.1.

Перед тем как приступить к решению задач контрольной рабо - ты нужно изучить соответствующий теоретический материа л (какойто небольшой раздел!). Этот материал нужно закрепить, решая самостоятельно (!) (может быть и несколько раз) уже решенные з ада- чи, соответствующие рассматриваемому Вами теоретическо му материалу. После этого Вы приступаете к решению задачи ко нтрольной работы, одновременно сверяясь с уже решенной анал огич- ной типовой задачей из раздела «Решение типовых задач».

Требования к оформлению контрольных работ

1.Контрольные работы следует выполнять в ученических тет - радях (желательно в клетку). На обложке необходимо указать : название учебного заведения, факультета (института); назв ание кафедры; номер и название контрольной работы; название сп е- циальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2.На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки задач и методических указаний проверяющего работ у.

3.Условия задач переписывать необязательно, достаточно указать номер задачи по данному пособию.

408

Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от лич- ного шифра студента, выполняющего работу.

Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры своего шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 параметр n. Эти два числа m и n и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Например, если шифр студента 1097–037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что m = 1, n = 5. Полученные m = 1 и n = 5 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.

1.Линейная алгебра

1.1.Действия с матрицами

1.1.1.Выполнить действия:

409

1.2.Вычисление определителей

1.2.1.Проверить, что определитель D равен нулю

а) способом Крамера; б) разложением по строке.

1.3.Обратная матрица

1.3.1.Найти обратную матрицу к матрице А и проверить выполнение равенства А · À–1 = Å:

1.4.Системы линейных уравнений

1.4.1.Записать систему

ì(m + n)x + (m - n)y = m2 + n2 ,

í mx + ny = 2mn,

î

в матричном виде AЧ x = b и решить ее с помощью вычисления обратной матрицы.

1.4.2. Решить систему методом Гаусса:

1. С помощью теоремы Кронекера-Капелли установить совместность системы.

410