шапкин задачи с решениями

выми перевозками xij = 0, которые нужны для определения потенциалов из уравнений (7.8).

Затем для всех свободных клеток из соотношений (7.9) определяем величину DCij è, åñëè âñå DCij ³ 0, то получим оптимальный план перевозок, если же встречаем отрицательные DCij, то план не оптимален и его надо улучшать.

7.1.2.4. Улучшение плана перевозок

Среди пустых клеток с отрицательными значениями DCij выбираем ту, у которой DCij наименьшая. Эта пустая клетка рекомендуется к заполнению, в результате которого одна из зап олненных клеток станет пустой. Процедура перепланировки соотв етствует взаимной перемене роли двух переменных в симплекс ном методе. Например, в табл. 7.5 клеткой, рекомендуемой к заполне - нию служит пустая клетка (1, 2), следовательно, переменная х12 из не основных (нулевых) переходит в основные (положительные ). Остается определить, какая из основных переменных должна стать не основной.

Для свободной клетки строим замкнутую ломанную линию (цикл), состоящую из горизонтальных и вертикальных отрезк ов прямых. Одна из вершин находится в свободной клетке, а оста льные в занятых клетках, число вершин всегда четное. Свободн ой вершине придаем знак плюс, знаки остальных вершин чередую т- ся. На каждой стороне этой ломанной линии — контура могут находиться две заполненные вершины, кроме того одна верши на лежит в заполняемой пустой клетке.

Наиболее часто контур имеет вид прямоугольника, но возмож - ны фигуры другого типа (рис. 87).

Ðèñ. 87

381

Перепланировке подвергаются только клетки контура, а величина перевозок во всех остальных заполненных клетках т аблицы не изменяется.

В отрицательных вершинах контура выбираем наименьшее число и это число прибавляем к положительным вершинам и отнимаем от отрицательных вершин. Выбранная отрицательн ая вершина станет свободной, число занятых вершин не изменит ся, баланс перевозок старого и нового контура останется без и зменения.

Далее строим новую таблицу перевозок и проверяем оптимал ь- ность плана. Если план оптимальный, то получим оптимально е решение транспортной задачи, если нет, то план улучшаем. Че рез какое-то число последовательных шагов улучшения планов п еревозок будет получен оптимальный план.

7.1.2.5. Задача определения оптимального плана перевозок

Íà òðè áàçû À1, À2, À3 поступил однородный груз в количе- стве 200, 205, 225 тонн. Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов B1, B2, …, B5, потребности которых составляют 190, 130, 80, 100 и 130 тонн. Расстояние Cij в ед. км. (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, …, 5) между пунктами отправления и пунктами назначе- ния приведены в табл. 7.6.

Следует спланировать перевозки однородного груза так, чт о- бы общие затраты всех перевозок в тонно-километрах были б ы минимальными.

Ò à á ë è ö à 7.6

382

Òàê êàê Σai = 200 + 205 + 225 = 630, Σbj = 190 + 130 + 80 +

+ 100 + 130 = 630, ò.å. Σai = Σbj, то имеем закрытую модель транс-

портной задачи.

Составляем исходное опорное решение по правилу минималь - ной стоимости. В клетке (2, 3) наименьшая стоимость С23 = 3 и туда отправляем весь необходимый груз 80 т. Далее наименьша я стоимость С24 = Ñ22 = 4 и в клетку (2, 4) направляем все 100 т необходимого груза, а в клетку (2, 2) — оставшиеся на базе А2 25 т. Теперь наименьшая стоимость С11 = Ñ15 = 5 и в клетку (1, 1) направляем 190 т необходимого груза, а в клетку (1, 5) — 10 т оставшегося на базе А1 груза. Затем направляем 120 т груза в клетку (3, 5) и 105 т в клетку (3, 2). Правильность заполнения таблицы проверяем суммируя грузы в заполненных клетках п о строкам и столбцам. Получим опорное решение (табл. 7.8).

Всего должно быть заполненных клеток N = m + n – 1 = = 3 + 5 – 1 = 7, у нас также заполнено семь клеток.

Проверяем оптимальность полученного плана перевозок ме - тодом потенциалов.

Поставщику ставим в соответствие потенциалы Ui (i = 1, 2, 3), а потребителю — Vj (j = 1, 2, …, 5) и определяем их. Назнача-

383

åì U1 = 0, а все остальные потенциалы находим из условия, что для занятых клеток должны выполняться условия (7.8):

Ñ15 – (U1 + V5) = 0, 5 – (0 + V5) = 0, V5 = 5;

Ñ35 – (U3 + V5) = 0, 7 – (U3 + 5) = 0, U3 = 2;

Ñ32 – (U3 + V2) = 0, 10 – (2 + V2) = 0, V2 = 8;

Ñ22 – (U2 + V2) = 0, 4 – (U2 + 8) = 0, U2 = –4;

Ñ23 – (U2 + V3) = 0, 3 – (–4 + V3) = 0, V3 = 7;

Ñ24 – (U2 + V4) = 0, 4 – (–4 + V4) = 0, V4 = 8;

Ñ11 – (U1 + V1) = 0, 5 – (0 + V1) = 0, V1 = 5.

Для всех свободных клеток находим Cij из соотношения (7.9)

Ñ12 = Ñ12 – (U1 + V2) = 7 – (0 + 8) = –1;

Ñ13 = Ñ13 – (U1 + V3) = 4 – (0 + 7) = –3;

Ñ14 = Ñ14 – (U1 + V4) = 9 – (0 + 8) = 1;

Ñ21 = Ñ21 – (U2 + V1) = 7 – (–4 + 5) = 6;

Ñ25 = Ñ25 – (U2 + V5) = 7 – (–4 + 5) = 6;

Ñ31 = Ñ31 – (U3 + V1) = 9 – (2 + 5) = 2;

Ñ33 = Ñ33 – (U3 + V3) = 6 – (2 + 7) = –3;

Ñ34 = Ñ34 – (U3 + V4) = 8 – (2 + 8) = –2.

Так как имеются Сij < 0, то, согласно п. 7.1.2.3, план табл. 7.8 не является оптимальным и его нужно улучшить соответстве нно п. 7.1.2.4.

Для свободной клетки (3; 3) с наименьшим отрицательным С33 = –3 строим контур (пунктирный прямоугольник) и улучшаем соответствующий ему план перевозок.

384

Òàê êàê âñå DÑij ³ 0, то получен оптимальный план перевозок.

X= (x11 = 190, x12 = 0, x13 = 0, x14 = 0, x15 = 10, x21 = 0, x22 = 130, x23 = 0, x24 = 75, x25 = 0,

x31 = 0, x32 = 0, x33 = 80, x34 = 25, x35 = 120).

Транспортные расходы при этом будут минимальными:

Zmin = 5 · 190 + 5 · 10 + 4 · 130 + 4 · 75 + 6 · 80 + 8 · 25 + 7 · 120 = =3340 тонно-км.

7.1.2.6. Открытая модель транспортной задачи

Для открытой модели может быть два случая:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребнос-

òè Sai > Sbj;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы Sbj > Sai.

Формулироваться данная задача будет следующим образом.

Открытая модель решается приведением к закрытой.

В случае (а) вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребности которого bn+1 = Sai – Sbj.

386

В случае (б) вводится фиктивный поставщик Аm+1, запасы которого am+1 = Sbj – Sai.

Стоимости перевозок в обеих случаях полагаются равными нулю.

При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груз а реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребит е- лю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков .

Составить оптимальный план перевозок. Имеем матрицу планирования (табл. 7.11).

åai = 700; åbj = 750.

Вводим фиктивного поставщика Аm+1 = A5, объем запасов которого аm+1 = a5 = 50. При составлении опорного плана методом min стоимости необходимо наименьшую стоимость выбирать только среди стоимостей реальных поставщиков и потр е- бителей, а запасы фиктивного поставщика распределять в по с- леднюю очередь.

Число заполненных клеток 7, а должно быть m + n – 1 = = 5 + 5 – 1 = 9, тогда в клетках (4, 2) и (3, 5) ставим нули.

387

Оптимальный план не является единственным, так как для клетки А2Â3 сумма потенциалов равна стоимости перевозок и в нее по циклу можно переместить 100 ед. груза. При перераспред е- лении система потенциалов не изменится и стоимость перев озок останется прежней.

+–

=3000 + 700 + 100 = 3800. = 800 + 1500 + 1300 + 200 = 3800.

7.2.Математические методы в экономике

7.2.1. Сетевое планирование

Системы сетевого планирования и управления (СПУ), являющиеся разновидностью автоматизированных систем управле ния, предназначены для управления деятельностью, направленн ой на достижение определенной цели.

Объектом управления в системах СПУ является коллектив, располагающий определенными ресурсами и выполняющий ко м- плекс работ, призванный обеспечить достижение намеченно й цели. Метод СПУ позволяет в любых, даже самых сложных ситуациях , быстро принимать наиболее правильные решения, выявить ре зервы времени и средств на одних участках работы и переброси ть их на другие, более напряженные.

Важной особенностью систем СПУ является системный подход к вопросам организации управления, согласно которому коллективы исполнителей, принимающие участие в проекте и объ е- диненные общностью поставленной перед ними задачи, несмо тря на их различную ведомственную подчиненность, рассматрив аются как звенья единой сложной организационной системы.

Для отображения процесса выполнения проекта и управлени я им в системах СПУ используется сетевая модель.

389

7.2.1.1. Сетевой график. Критический путь

Важнейшей основой метода СПУ является сетевой график. Сетевой график представляет собой графическое изображе ние

последовательности выполнения комплексной разработки, показывающее взаимосвязь и взаимозависимость отдельных эта пов, выполнение которых обеспечивает достижение конечной це ли разработки.

Достоинство сетевых графиков заключается в их нагляднос ти и сравнительной простоте исполнения. Сетевые графики позв оляют:

а) выявлять важнейшие работы, от своевременного выполнения которых зависит соблюдение сроков окончания всей раз работки;

б) наглядно представлять ход разработки в целом, взаимосв язь и взаимозависимость отдельных этапов разработки;

в) определять общую потребность в рабочей силе и материальных ресурсах для выполнения плана;

г) выявлять резервы времени и материальные ресурсы с цель ю наиболее эффективного выполнения плана;

д) совершенствовать методы планирования и устанавливать строгий ритм в работе;

е) использовать вычислительную технику для расчета показ а- телей сетевых графиков.

Приведенный перечень преимуществ применения методов се - тевого планирования и управления не является исчерпываю щим, однако дает возможность оценить его огромное мобилизующ ее значение как эффективного средства улучшения организац ии труда и управления производством.

Таким образом, методы СПУ, обеспечивая руководителя необходимой информацией о ходе выполнения разработки, дают ему возможность принимать решения, направленные на достижен ие максимального эффекта при минимальных затратах времени и ресурсов, поэтому применение методов СПУ близко подходит к возможности разработки оптимальных планов.

Рассмотрим теперь основные термины, применяемые при пользовании сетевыми графиками.

Работа характеризует конкретный этап трудового процесс а по выполнению определенной операции комплексной разработк и. Этот термин означает, что для осуществления работы требую тся затраты рабочей силы, материальных ресурсов и времени.

390