шапкин задачи с решениями

Решение. Требуется найти вероятность P13,26. Зная теорему Лапласа, необходимые вычисления производим по следующей схеме:

ϕ (x) = ϕ (1,04) = 0,2323;

Значения функции ϕ (x) находим по таблице.

6.2.3. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что m — число появлений события А при n испытани-

301

При достаточно больших n из формулы (6) следует приближенное равенство:

èëè

Пример 6.18. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чем у равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число пер - восортных заключено между 652 и 760?

Решение. Известны число независимых испытаний n = 1000 и вероятность наступления события в отдельном испытании p = 0,7. Требуется найти вероятность того, что число появлений соб ытия заключено между a = 652 и b = 760. Искомую вероятность находим по формуле (5)

P (a < m < b) » 21 [F (β ) - F (α )].

302

Расчет α è β производим по следующей схеме: np = 0,7×1000 = 700;

npq = 700×(1- 0,7) = 700×0,3 = 210;

npq = 210 =14,491;

a− np = 652 − 700 = −48;

α= a - np = - 48 = -3,31; npq 14,491

b - np = 760 - 700 = 60;

–F (β ) = F (4,14) = 0,99997 F (α ) = F (–3,31) = –0,99813

F (β ) – F (α ) =1,99810.

Поэтому искомая вероятность приближенно равна:

F (β ) - F (α ) = 1,99810 = 0,99905. 2 2

Пример 6.19. Бюффон бросил монету 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. Можно ли считать полученное отклонение числа появлений герба от 2020 случайным или же оно обусловлено сис - тематической причиной?

Решение. Расхождение эмпирической частоты Бюффона от теоретической можно считать случайным, если вероятность то го, что при 4040 бросаниях монеты отклонение числа выпадений гер - ба от 2020 равно или больше по абсолютной величине, чем у Бюффона, достаточно большая. Пусть m — число выпадений герба при 4040 бросаниях монеты. Находим вероятность:

P ( | m – 2020 | < 28),

ãäå 28 = | 2048 – 2020 |;

303

В данном случае p = 0,5, q = 0,5, n = 4040, ε = 28. Отсюда

P ( | m – 2020 | < 28) » F (0,881) = 0,6217.

Поэтому вероятность противоположного события, т.е. того, что | m – 2020 | ³ 28, равна 1 – 0,6217 = 0,3783. Так как эта вероятность достаточно большая, то результат Бюффона можно счит ать обусловленным случайными причинами.

Пример 6.20. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютно й величины отклонения частости взошедших семян от вероятн ости p = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью P = 0,995.

Решение. Мы знаем, что если n — число независимых испытаний и p — вероятность наступления события в отдельном испытании, то при любом ε > 0 имеет место приближенное равенство:

Пользуясь таблицей, решаем уравнение F (t) = 0,995; t = 2,81.

304

Пример 6.21. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с веро ятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

Решение. Здесь p = 0,85, q = 1 – 0,85 = 0,15, ε = 0,01, P = 0,997,

вероятность P, стоящая слева, то сначала решим уравнение Φ (t) = P.

6.3. Случайные величины

Случайная величина (СВ) — это переменная, принимающая в каждом конкретном испытании конкретное числовое значен ие, которое может меняться от опыта к опыту.

Примеры: количество клиентов, посетивших парикмахерскую за день; месячная прибыль ателье; время проявления фотопл енки.

Случайные величины представляют результаты измерений в случайных экспериментах (испытаниях). Существует два вид а слу- чайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины — это переменные, принимающие только отделенные друг от друга числовые значения (которые можно заранее перечислить).

Примеры: оценки в зачетной книжке (3, 4, 5); количество студентов на экзамене.

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из замкнутого или открытого интервала. Например , размеры одной и той же детали, определяемые разными людьми ил и с применением разных инструментов, различны.

Возможны комбинированные (дискретно-непрерывные) слу- чайные величины, которые на одних интервалах являются неп рерывными, а на других — дискретными.

305

6.3.1. Законы распределения

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется любое правило, позволяющее находить все вероятности каждого значения этой величины. Для случайны х величин любого вида — это правило, позволяющее находить в е- роятности появления этой величины в любом заданном интер вале ее значений. Законы распределения задаются в аналитиче с- кой, графической или табличной форме. Обычно для этого используются:

а) ряд распределения (многоугольник распределения); б) интегральная функция распределения; в) дифференциальная функция распределения.

Ряд распределения это таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности. О н является исчерпывающей характеристикой дискретной СВ.

У непрерывных СВ ряд распределения отсутствует, поэтому он не является универсальным законом распределения СВ. Пр и- мер ряда распределения иллюстрируется табл. 1, где представлено (в порядке возрастания) пять значений дискретной слу чайной величины Х. При этом сумма всех вероятностей всегда равна единице.

Интегральной функцией распределения называют функцию F (x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

F (x) = P (X < x),

где х — некоторая текущая переменная.

Интегральная функция распределения — самая универсальн ая характеристика СВ. Она существует и для дискретных и для н е- прерывных СВ, полностью и однозначно характеризуя их с ве роятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Часто слово «интегральная» опускается.

306

Основные свойства интегральной функции распределения:

1.Функция распределения есть неотрицательная функция, за к- люченная между нулем и единицей: 0 £ F (x) £ 1, где на границах интервала: F (x = –¥) = 0 è F (x = +¥) = 1.

2.Вероятность появления СВ в интервале от α äî β, равна разности значений интегральной функции распределения на ко нцах интервала, т.е.

P (α < x < β ) = F (β ) – F (α).

3.Интегральная функция — неубывающая функция своего аргумента, т.е. если x2 > x1, òî F (x2) ³ F (x1).

4.В отдельных точках F (x) может иметь разрыв. В этих точ- ках величина скачка функции распределения равна вероятн ости появления случайной величины в этой точке:

P (X = x) = F (x + 0) – F (x).

307

5. График функции распределения дискретной СВ имеет ступенчатый вид (рис. 72), а непрерывной — непрерывную линию (рис. 73).

F(x) 1,0

Рис. 73. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины

Плотностью (дифференциальной функцией) распределения непрерывной случайной величины x называется производная ее интегральной функции: f (x) = F¢ (x).

Основные свойства плотности распределения:

1.Дифференциальная функция неотрицательна: f (x) ³ 0.

2.Интеграл от f (x) в пределах от –¥ до х* равен интегральной функции распределения

xò* f (x) dx = F (x*) = P (X < x*) = P (–¥ < X < x*).

–∞

Этот интеграл численно равен площади фигуры, лежащей левее точки х* и заключенной между кривой плотности и осью абсцисс (рис. 74).

308

F (x)

S = F(x*)

Рис. 74. Графическое изображение интегральной функции

F(x*) = P (X < x*)

3.С помощью дифференциальной функции можно определить

вероятность попадания случайной величины в заданный инт ервал от α äî β, которая равна

β

P(α < X < β ) = ò f (x) dx,

α

т.е. вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (α; β ) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от α äî β (ñì. ðèñ. 75).

F (x)

Рис. 75. Графическое изображение интегральной функции в интервале от α äî β

309

4. Интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах равен единице:

∞

ò f (x) dx = F (¥) - F (–¥) =1– 0 =1.

∞

Пример 6.22. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).

Решение. Искомая вероятность равна приращению интегральной функции на заданном интервале:

P (0 < X < 1) = F (1) – F (0).

Так как на интервале (0; 1) по условию F (x) = 2x , òî

F (1) – F (0) = 21 - 20 = 21 .

Èòàê,

P (0 < X < 1) = 21 .

6.3.2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (X) — наиболее часто применяемые характеристики случайной величин ы. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его п оложение и степень разбросанности.

Математическим ожиданием называется:

а) для дискретной случайной величины – сумма всех произве - дений ее возможных значений на их вероятности:

M(X ) = åxi × p (xi ) =åxi × pi ;

ii

310