Предисловие к третьему изданию.

5

Предисловие к первому изданию

8

Некоторые постоянно употребляемые обозначения

10

Глава 1. Основные понятия

11

§ 1. Фазовые пространства

11

§ 2. Векторные поля на прямой

30

§ 3. Линейные уравнения

40

§ 4. Фазовые потоки

48

§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений

55

§ 6. Симметрии

63

Глава 2. Основные теоремы

73

§ 7. Теоремы о выпрямлении

73

§ 8. Применения к уравнениям выше первого порядка

85

§ 9. фазовые кривые автономной системы

95

§ 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы

99

§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными

105

производными

§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы

112

Глава 3. Линейные системы

124

§ 13. Линейные задачи

124

§ 14. Показательная функция

126

§ 15. Свойства экспоненты

132

§ 16. Определитель экспоненты

137

§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты—случай

140

вещественных и различных собственных чисел

§ 18. Комплексификация и овеществление

143

§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством

146

§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения

150

§ 21. Классификация особых точек линейных систем

158

§ 22. Типологическая классификация особых точек

161

§ 23. Устойчивость положений равновесия

170

§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел

174

§ 25. Случай кратных собственных чисел

179

§ 26. О квазимногочленах

186

§ 27. Линейные неавтономные уравнения

196

§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами

208

§29. Вариация постоянных

214

Глава 4. Доказательства основных теорем

216

§ 30. Сжатые отображения

216

§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывно и зависимости от

217

начальных условий

§ 32. Теорема о дифференцируемости

225

Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях

233

§ 33. Дифференцируемые многообразия

233

§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии

241

§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем

247

§ 36. Индексы особых точек векторного поля

250

Программа экзамена

262

Образцы экзаменационных задач

263

Предметный Указатель

268

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоколебания 39, 121

Гиперповерхность 106

Алгебра Ли 102

— начальная 106

Атласы 234, 235

Гипотеза Пуанкаре 240

Аттрактор 40

Гладкость 14

База расслоения 243

— многообразия .233

Вариации 77, 226

Голономия 25

—постоянных 44, 214

Гомеоморфизм 167

Вектор, касательный в точке 57, 242

Гомоморфизм 14, 167

— скорости фазовой 53

Градуирование 68

Веса переменных 67

Граница множества 82

Возмущения малые 44, 77, 80, 121,

Группа абстрактная 48

195, 214

—диффеоморфизмов 51

Выпрямление поля векторного 84,

— квазиоднородных растяжений 67

246

— коммутативная (абелева) 50

— — направлений 73

— контактная 112

Геодезическая 264

— однопараметрическая 50

— преобразований 48

Комплексификация 143

——линейных 52, 125

—линейного уравнения 150

— симметрии 63

Координаты аффинные 233

— стационарная 97

— локальные 242

Движения медленные 266

— однородные 233

Действие группы 49

—тангенциальные 95

Диаграмма Ламерея 25

Кривая двойственная 95

— Ньютона 66

— дискриминантная 94

Дивергенция 203

—интегральная 14,23

Диффеоморфизм 51

— Лиссажу 186

— контактный 112

— логистическая 20

— многообразия 240

— Михайлова 193

Диффеоморфизм сопрягающий

— параметризованная 240

62

Кривая фазовая 23, 51

Дифференцируемость 14

— — замкнутая 97

— многообразия 233

Лемма Адамара 116

Диффузия 267

— Морса 116

Зависимость линейная рациональная

Лестница Ламерея 25

176, 186, 199

Линеаризация 41, 124

Задача Кеплера 115

Линии асимптотические 267

— Коши 106

— геодезические 264

— Штурма — Лиувилля 207, 265

— параболические 267

Закон тяготения 90

—уровня энергии 113

— локальной эволюции 54

Лист Мебиуса 67, 244

Зонтик сложенный 266

Ломаные Эйлера 136, 224

Изометрия 48

Маятник 27, 78. 85, 113, 120, 141,

Инволюция 266

155, 195, 201, 208

Индекс кривой 250

Метод комплексных амплитуд 191

— особой точки 253

— малого параметра 80

Интеграл первый 102

Мираж 264

— —, зависящий от времени 104

Многообразия аналитические 234

——локальный 103

—дифференцируемые (гладкие) 234

Канал звуковой 264

— ориентированные 235

Карты 234

— связные 238

Квазимногочлены 131, 186

— топологические 234

Квота отлова 21

Множитель интегрирующий 70

Колебания вынужденные 39, 47. 192

Модель Лотка — Вольтерра 24, 36,

—главные (собственные) 185

265

— релаксационные 268

Монодромия 25, 42, 264

—слабо нелинейные 195

Мультипликатор 42, 47

Коммутатор 101

Норма 128, 219

Компакт 82

— оператора 127

Образ вектора 55

— Коши 128

— векторного поля 58

— Фибоначчи 142

— фазового потока 62

Постоянная Липшица 31

Овеществление 143

Поток фазовый 51

Оператор диагональный 130

— — уравнения 54

—комплексно сопряженный 145

Преобразование Лежандра 95

— Лапласа 71

— множества 48

—пильпотептный 130

Приближения

— производящий 134 Определитель

Пикара 217

137

— последовательное 217

— Вандермонда 201

Признак Вейерштрасса 128

— Вронского 199

Проблема Рауса—Гурвица 173

Орбита 49

Продолжение решений 81, 88, 117

Отображение дифференцируемое

Произведение прямое 32

(гладкое) 55, 238

Производная Ли 100

— за период 209

— отображения 56

— касательное 75

— по направлению вектора 99

—локально эквивалентное 75

— — — поля 100

— невырожденное 75

Пространство аффинное 10

— Пикара 218

— евклидово 10

— Пуанкаре 25

— касательное 56, 242

— сжатое 216

—координатное 10

— Уитни (сборка) 57

— линейное 10

Оценка априорная 117

— матричное 127

Параллелизация 244

— нормированное 128

Плоскость двойственная 95

— полное 127

Плоскость контактная 93

— проективное 60, 233

Поворот гиперболический 52

— расслоения 243

—эллиптический 154

— расслоенное 241

Подмногообразия 240

— струй 93

Подмножество инвариантное 151

— фазовое 1 I

— компактное 237

— — расширенное 23

— открытое 237

Процессы эволюционные II

Поле векторное 16

Прямая проективная 66

— — на многообразии 241

Равновесие безразличное 26

— — фазовой скорости 53

— устойчивое 170

— направлений 16, 94

Размерность многообразия 238

— — квазиодпородное эйлерово 68

Распределение Гиббса 265

— — контактных плоскостей 93

Расслоение касательное 241

— — эйлерово 63, 66

— векторное 241

Положение равновесия 16

Режим автоколебательный 26, 123

Последовательность возвратная 182

— колебательный 35

— стационарный 21

— Эйлера 66, 68

Резонанс 193

Теория бифуркаций 39

— параметрический 212

— возмущений 80

Решение уравнения 15

— катастроф 39

— — общее 157

Траектории 51

— — периодическое 47

Узел 34

— — n-го порядка 85

— сложенный 268

Свойство групповое 50, 132

Уравнение автономное 16, 23, 79

Седло 34

— Бесселя 200

Сечение расслоения 243

— в вариациях 77, 226

Симметрия векторного поля 63

— Ван-дср-Поля 123

Система

механическая

— вековое 141

консервативная 112

— взрыва 19

—решений фундаментальная 119

— Гамильтона — Якоби 112

— уравнений автономная 95

— гипергеометрическое Гаусса 201

— — в вариациях 225

—дифференциальное 15

— — Гамильтона каноническая 89,

— квазилинейное 108

103

— квазиоднородное 67

— — неавтономная 96

Уравнение Клеро 92, 94

— — Ньютона 89

— Лапласа 71

Скобки Пуассона 101

—линеаризованное 125

След оператора 138

— лилейное неоднородное 43, 47,

Слой расслоения 243

189 214

Спираль логарифмическая 148

— — —с частными производными

Степень отображения 259

107

Структура дифференцируемая 57

— —однородное 40, 126. 133, 146,

— контактная 93

179, 196, 200, 208

— линейная 57

— — —с частными производными

— многообразия 234

105

Сфера Милнера 240

— — с периодическими

Теорема единственности 30, 76, 87,

коэффициентами 41, 47, 208

223

— логистическое 20

— Клеро 264

— Лотка — Вольтерра 24, 36, 265

—Лиувилля 71, 202

— малых колебаний 27, 78, 85, 113,

— о выпрямлении 73, 229

120, 141, 155, 184

— — дифференцируемости 76, 88,

— Матье 200, 211

226, 230

— неавтономное 196

— — неявной функции 75

— нелинейное 124, 162, 170, 195

— —продолжении 81, 88, 117

— — с частными производными 110

Теорема сравнения 205

— неразрешенное относительно

— существования 30, 76, 87, 223

производной 91, 266

— Штурма 204

— Ньютона 69, 75, 89, 117

Уравнение

— Ньютона 16

— однородное 65

— Ньютона — Лейбница 221

— размножения 18

— Тейлора 130

— — с конкуренцией 20

— Эйлера 134

— разностное 87

Функторы 144

— с разделяющимися переменными

Функция влияния 45

34

— Гамильтона 103

— теплопроводности 69

— гармоническая 72

—характеристик 105, 109, 111

Функция Грина 45

— эволюционное 16

— Дирака 44

— n-ro порядка 85, 189, 200

— квазиоднородная 68

Условие Липшица 31, 220

— Ляпунова 163

— начальное 15, 87

— однородная 66

— устойчивости 209

— последования 25

Устойчивость асимптотическая 171,

— собственная 207

209, 265

Характеристика амплитудно-фазовая

— по Ляпунову 170, 209, 265

194

— сильная 210

— эйлерова 260

Усы седла 169

Характеристики уравнения 105, 109,

Ферми-частица 265

111

Фокус 149

Хвост ласточкин 267

— сложенный 266

Цикл 25, 265

Форма дифференциальная 17, 35

— невырожденный 38

— нормальная жорданова 163

— предельный 26

— симметричная 36

— устойчивый 38

— уравнения, неразрешенного

Цунами 264

относительно производной 266

Частота собственная 185

Формула Барроу 30

Эквивалентность потоков 62, 160

— Кардано 71

Энергия 113, 184

— Лиувилля 130