3.4.1. Стационарные и эргодические случайные процессы

Стационарный случайный процесс – это процесс, статистические характеристики которого одинаковы во всех временных сечениях.

Случайный процесс строго стационарен (или стационарен в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности (–произвольная размерность,) не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сеченийна одинаковую величину:

т.е.:

для любого .

Процесс стационарен в широком смысле, если такое свойство независимости от временного сдвига обеспечивается лишь для одномерной и двумерной плотности вероятности.

Для стационарного случайного процесс математическое ожидание и дисперсия не зависят от моментов времени и, а лишь от интерваламежду ними, т.е.

Также для стационарного процесса:

и, кроме того,

Коэффициент корреляции в этом случае:

Стационарным является любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями. Например, – стационарен,– случайная величина.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению времени одной, теоретически бесконечной реализации.

Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия эргодического процесса – смысл мощности флуактуационной составляющей.

Достаточной условие эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом . Так, например, случайный процесс– является стационарным и эргодическим.

3.5. Спектральные характеристики случайных процессов

Для каждой реализации случайного процесса можно определить свою спектральную плотность , выполнив прямое преобразование Фурье. Для множества (ансамбля) реализаций можно определить статистически усреднённую спектральную плотность:

Таким образом, усреднённая спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированного случайного процесса и.

Вывод – вычисление не несёт информации о собственно случайной составляющей процесса, так как фазы спектральных составляющих в различных реализациях независимы и случайны.

Рассмотрим спектральную плотность мощности случайного процесса, так как мощность не зависит от соотношения фаз спектральных составляющих.

Пусть – центрированный случайный процесс и ограничим длительность его реализации конечным интервалом. Найдём для реализациина этом интервале спектральную плотностьчерез прямое преобразование Фурье.

Согласно равенству Парсеваля:

Теперь определим среднюю мощность реализации на данном временном интервале:

При увеличении времени энергия всей реализации неограниченно возрастает, а средняя мощность стремиться к некоторому пределу.

Пусть , тогда получаем:

,

где – спектральная плотность средней мощности или спектральная плотность мощности –power spectral density (PSD).

Для центрированного эргодического процесса средняя мощность для любой реализации равна дисперсии процесса, т.е.:

Заметим, что – вещественная функция и не содержит информации о фазах спектральных составляющих, тем самым она не позволяет восстановить отдельные реализации случайного процесса.