2.3. Интегральное преобразование Хартли

Для одномерного случая прямое преобразование Хартли может быть определено как [3]

(2.6)

и, соответственно, обратное преобра-зование Хартли

(2.7)

Сравним эти выражения с (2.4.) и (2.5), разложив ядро по формуле Эйлера на действительную и мнимую части (т.е. sin и cos компоненты):

(2.8)

Из анализа (2.6) - (2.8), можно сделать следующие выводы:

1) Преобразование Хартли является преобразованием с действительным ядром;

2) Прямое и обратное преобразование Хартли вычисляются идентично;

3) Квадрат модуля преобразования Фурье | F() |² равен:

4) Действительная и мнимая компоненты преобразования Фурье могут быть вычислены на основе преобразования Хартли весьма простым образом:

(2.10)

(2.11)

5) Если f(x) - четная (т.е. f(-x)=f(x)), то:

, .

Основные свойства преобразования Хартли соответствуют преобразованию Фурье:

1) Инвариантность к сдвигу (модуль H²(ξ) + H²(ξ) - неизменен).

2) Так же, как и для преобразования Фурье, для преобразования Хартли справедливы следующие соотношения согласно теоремы масштабов:

3) Так же, как и для преобразования Фурье, для преобразования Хартли справедлива Теорема Парсеваля.

Отличие от Фурье - преобразования заключается в иной трактовке теоремы о свертке:

Если заданы функции f(x) иg(x), причемH(ξ) и- соответственно их cпектры Хартли:

,

,

то их свертка вычисляется следующим образом [3]:

1) вычисляются функции и;

2) формируется функция:

3) вычисляется преобразование Хартли от функции Ф(ξ).

Очевидно, что если функция g(x) - четная, то:

,

Если и функция f(x) - четная, то:

Преобразование Хартли требует вычислений примерно вдвое меньшей сложности (поскольку его ядро действительная функция) и в то же время от его результата достаточно просто перейти к результату, эквивалентному результату преобразования Фурье. Поэтому на практике преобразование Хартли используется вместо преобразования Фурье в различных задачах ЦОС как некоторое искусственное синтетическое преобразование меньшей сложности, но обеспечивающее получение требуемого результата.

2.4. Дискретное преобразование Фурье

Перейдём от интегрального преобразования Фурье (2.3) к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), при условии что точки дискретизации выбраны согласно теоремы отсчётов (теоремы Котельникова) [5,21]:

где (2.11)

Тогда нетрудно получить, что

Подобным же образом можно получить и для обратного преобразования

(2.12)

Заметим, что происхождение множителя связано с заменой при дискретизации согласно теоремы Котельникова восстанавливающую функцию в (1.12) на “гребёнку” отсчётов.

Таким образом, в матричной форме:

(2.13)

где , а сама матрица ядра ДПФ носит название матрицы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). При этом строки матрицы определяют набор ортогональных функций или базис разложения.

При выполнении преобразования Фурье строки матрицы ядра задают набор ортогональных функций, по которым выполняется разложение исходного сигнала. Каждый элемент вектора результата определяет вклад соответствующей ортогональной функции в формирование исходного сигнала.

Для преобразования Фурье, как и для любого ортогонального преобразования, матрица ядра преобразования обратима (т.е. определитель отличен от “0”) , что позволяет выполнить как прямое, так и обратное преобразования:

(2.14),

поскольку

При этом матрица ядра обратного преобразования обладает свойством, где- эрмитово-сопряжённая матрица. Понятие эрмитово-сопряженной матрицы предусматривает, что матрица обратного преобразования является транспонированной по отношению ки элементы её есть комплексно сопряжённые к.

Рассмотрим основные свойства матрицы ядра преобразования . Коэффициенты такой матрицы обладают следующими свойствами:

1) цикличностью: или

2) мультипликативностью

Из указанных свойств следует, матрица E_N из N² элементов содержит только N попарно различных элементов.

3) симметричностью

Рассмотрим примеры матрицы E_N для некоторых N:

N=2

N=3

N=4

и, наконец, для N=8