2.2. Интегральное преобразование Фурье

Любой периодический сигнал x_п(t) можно представить в виде ряда Фурье [21]:

где - постоянная составляющая сигнала, ₀=2/T=2. Из выражения (2.3) следует, что периодический сигнал любой формы может быть представлен в виде суммы гармонических составляющих с различными амплитудами A_k , частотами k₀ - и фазами _k. Благодаря этому можно перейти от представления сигнала во временной области к частотной, где A_k=A_k(k₀) - спектр амплитуд, _k=_k(k₀) - спектр фаз.

Эти спектры являются линейчатыми. Для любого сигнала x(t) можно определить спектры амплитуд A_k и фаз _k .следующим образом:

_k(k₀)=arctg b_k/a_k.

где, в свою очередь, величиныa_k и b_k определяются следующим образом:

Любой периодический сигнал бесконечен во времени, что на практике не осуществимо, поэтому периодический сигнал - математическая абстракция, и все рассмотренное выше не применимо к реальным сигналам.

Реальный сигнал ограничен во времени и, следовательно, является непериодическим. Однако, условно его можно рассматривать как периодический с периодом Т. Тогда ₀=2/T 0, а спектры амплитуд и фаз становятся непрерывными (сплошными), сумма в разложении Фурье превращается в интеграл. В результате переходим к интегралу Фурье (обратное преобразование) [5,21]:

В формуле s(j) - спектральная плотность сигнала, определяющая как распределяются амплитуды и фазы по частотам непрерывного спектра. Иногда в задачах обработки сигналов ее называют фурье-образом или фурье-спектром сигнала.

От s(j) можно перейти к спектральной плотности амплитуд (s()) и фаз (()).

Для решения этой задачи используется прямое преобразование Фурье:

Важно отметить, что s() -всегда убывающая функция, а () - всегда неубывающая функция. Кроме того, s()=s(-) - четная функция; а () = -(-) - нечетная функция.

Таким образом, с точностью до постоянного коэффициента, прямое и обратное преобразование Фурье могут быть определены по соотношениям

• прямое преобразование Фурье:

(2.4)

- обратное преобразование Фурье:

(2.5)

где ξ – некоторая пространственно-частотная спектральная координата (аналог координаты ν для сигналов во временной области). Напомним основные общие свойства преобразования Фурье:

Инвариантность к линейному смещению. Это свойство преобразования Фурье позволяет получать неизменный квадрат Фурье-образа при перемещении исходного объекта вдоль осей координат, что имеет исключительно важное значение при обработке и распознавании образов:

f(x) →F(ξ)

f(x-c)→F₁(ξ)=F(ξ)e^-j2πξc

или , гдес - произвольное смещение функции вдоль оси.

Теорема масштабов или теорема подобия. Теорема определяет характер изменения спектра при изменении масштаба сигнала

f(x)→F(ξ)

f(mx)→F₁(ξ)=F(ξ/m)

т.е. при растяжении функции f(x) в m раз происходит сжатие в m раз ее Фурье-образа, и наоборот.

Теорема о свертке. Пускай требуется вычислить свертку функций f(x) и g(x), причем F(ξ)и G(ξ) - соотвентственно их Фурье-образы:

Если функции иесть Фурье-образы функции f(x) и ядра g(x) соответственно, то есть Фурье-образ сверткиω_c(x).

Теорема о корреляции. Если функции иесть Фурье-образы функции f(x) и ядра g(x) соответственно, то есть Фурье образ корреляцииω_k(x) функций f(x) и g(x).

Теоремы о свертке и корреляции свидетельствуют о возможности вычисления функций свертки и корреляции через преобразование Фурье. Тем самым на основе преобразования Фурье можно выполнять и распознавание, идентификацию сигналов и обнаружение координат источника сигналов.

Теорема Парсеваля или закон сохранения энергии. Эта теорема свидетельствует о том, что мощность исходного сигнала и мощность спектра сигнала одинаковы:

Преобразование Фурье является одним из важнейших ортогональных преобразований, используемых в цифровой обработке сигналов. Действительно, вполне физически ясен смысл перехода от временного описания исходного сигнала к его частотному описанию. Кроме того, двумерное преобразование Фурье описывает не что иное, как дифракцию электромагнитных и упругих волн в дальней зоне (дифракцию Фраунгофера) – т.е. на большом (по сравнению с размерами источника и длиной волны) расстоянии от источника [28].