8. 4.7. Методы обращения матриц

Для фильтра Винера-Хопфа при вычислении оптимального импульсного отклика фильтра необходимо выполнять обращение автокорреляционных или ковариационных матриц. Поэтому остановимся на методах обращения матриц, используемых при решении задач ЦОС.

Вычислительная сложность процедуры обращения матриц достаточно велика, поэтому предназначенные для решения задач ЦОС в реальном масштабе времени алгоритмы обращения должны допускать распараллеливание и конвейеризацию вычислений. По этим причинам для обращения матриц в задачах ЦОС часто используют методы обращения, основанные на процедуре исключения (алгоритмы Гаусса, Гаусса-Жордана) [12, 18]. Рассмотрим процедуру обращения матриц по методу Гаусса-Жордана.

Пусть для матрицы порядкатребуется найти обратную матрицу:

Заметим, что для матрицы может и не существовать обратная матрица. Для того, чтобы существовала матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрицабыла не вырожденной [4], т.е. чтобы определитель матрицыdet[A_N] ≠ 0.

Запишем матричное уравнение:

где I_N - единичная матрица. Сформируем матрицу вида:

размером и заитераций приведем ее к виду:

при помощи соотношений:

(4.27)

(4.28)

причем a ^k-1_lj=a^{^}_{lj .}Здесь - ведущий элемент, который может определяться по номеру итерации какk- тый элемент k- й строки, либо как максимальный элемент k -го столбца [4]. Выражение (4.27) определяет главный или ведущий элемент на каждой итерации и приведение (масштабирование) коэффициентов строки, содержащей главный элемент. Назовем такую строку ведущей. Выражение (4.28) определяет порядок исключения, т.е. вычитания ведущей строки из остальных строк матрицы.

Подобный алгоритм почти в N раз снижает вычислительные затраты по сравнению с обращением матрицы по формулам Крамера.

Тем не менее, вычислительная сложность процедуры обращения матрицы по выражениям (4.27) и (4.28) все же достаточно велика и составляет порядка N³ базовых операций.

С целью дальнейшего снижения вычислительной сложности в ряде случаев используют приближенные итерационные процедуры обращения, например, по алгоритму Ньютона. Согласно такому алгоритму, для матрицы выполняются последовательные приближения:

, (4.29)

где - произвольное начальное значение исходной матрицы. Если данная последовательность сходится, то ее пределом является.

Для ряда практических применений, например, расчета оптимального импульсного отклика адаптивного фильтра, используют упрощенные алгоритмы, к которым относится алгоритм Гриффитса [24]:

(4.30)

Вместо нахождения обратной матрицы при нахождении импульсного отклика фильтра Винера-Хопфа:

вычисляют матрицу:

(4.31)

где - некоторая действительная переменная:

Однако при этом остается открытым вопрос о сходимости последовательности , что требует в конкретном случае предварительного исследования такой сходимости.

4.8. Контрольные вопросы и задания

1. Построить функцию пропускания фильтра низких частот с граничной частотой f _гр = 750 Кгц, при условии, что число отсчетов спектра N=100 и разрешение по частоте f = 50 Кгц. Привести рисунок.

2. Задан вектор X =[0,0,1,1,2,3,2,1,0,1,0,0]. Определить вектор Y с отсчетами отфильтрованного сигнала при использовании рекурсивного линейного фильтра с коэффициентами H = [1,3,1] и

B = [-1/2, 1] ("краевыми" эффектами пренебречь).

3. Задана матрица взаимокорреляции:

¦ 2 1 0 ¦

R = ¦ 0 2 -1 ¦

¦-2-2 2 ¦

Найти для нее обратную матрицу.

4. В одном из промышленных приложений рентгеновская съем­ка используется для контроля внутренней части некоторой сложной отливки. Целью является обнаружение пустот в отлив­ке, которые обычно выглядят как маленькие пятна на изобра­жении. Однако, из-за особенностей материала отливки и уров­ня энергии рентгеновских лучей, возникает высокий уровень шума, часто затрудняющий процесс контроля. В качестве ре­шения проблемы используется усреднение серии изображе­ний для подавления шума и тем самым улучшения видимых контрастов. При вычислении среднего важно максимально уменьшить число изображений, чтобы сократить общее время экспозиции, в течение которого деталь должна оставаться не­подвижной. После многочисленных экспериментов было вы­яснено, что достаточным является уменьшение дисперсии шу­ма в 10 раз. Если устройство ввода изображений работает с частотой 30 кадров в секунду, как долго отливка должна оста­ваться неподвижной при съемке, чтобы достичь требуемого уменьшения дисперсии шума? Считайте шум некоррелиро­ванным и имеющим нулевое среднее.

5. Исследуйте предельные эффекты многократного применения низкочастотного сглаживающего фильтра размерами 33 к дис­кретному изображению. Можете игнорировать влияние границ изображения.

6. Покажите, что если передаточная функция фильтра H(u,v) ве­щественная и центрально-симметричная, то и соответствую­щий пространственный фильтр h(x,y) также вещественный и центрально-симметричный.

7. Пусть дано изображение размерами MN, и проводится экс­перимент, состоящий в последовательном применении к изо­бражению процедур низкочастотной фильтрации с исполь­зованием одного и того же гауссова фильтра низких частот с заданной частотой среза D₀. Ошибкой округления можно пре­небречь. Пусть к_min — наименьшее положительное число, представимое в вычислительной машине, на которой прово­дится эксперимент.

(а) Обозначим через К число произведенных в эксперименте процедур фильтрации. Можете ли Вы предсказать, без проведения эксперимента, каков будет его результат (изо­бражение) при достаточно большом значении К?

(б) Получите выражение для минимального значения К, га­рантирующего получение предсказанного результата.

8. Предположим, что Вы сформировали низкочастотный прост­ранственный фильтр, действие которого в каждой точке (х,y) сводится к усреднению значений в четырех ближайших к ней точках, исключая ее саму.

(а) Найдите эквивалентный фильтр в частотной области.

(б) Покажите, что это действительно низкочастотный фильтр.

9. Предположим, что Вы имеете набор изображений, получен­ных в результате астрономических наблюдений. Каждое изо­бражение состоит из множества ярких широко разбросанных точек, соответствующих звездам в малонаселенной части Все­ленной. Проблема заключается в том, что звезды едва разли­чимы на фоне дополнительного освещения, возникающего в результате рассеяния света в атмосфере. Исходя из модели, со­гласно которой изображения представляют собой суперпози­цию постоянной яркостной составляющей и множества им­пульсов, предложите основанную на гомоморфной фильтрации процедуру для выявления составляющих изображения, кото­рые непосредственно связаны со звездами.

10. Опытному медицинскому эксперту поручено просмотреть не­которую группу изображений, полученных при помощи эле­ктронного микроскопа. Для того чтобы облегчить себе задачу, эксперт решает воспользоваться методами цифровой обра­ботки изображений. С этой целью он исследует ряд характер­ных изображений и сталкивается со следующими трудностя­ми. (1) Наличие на изображениях отдельных ярких точек, не представляющих интерес. (2) Недостаточная резкость изобра­жений. (3) Недостаточный уровень контрастности некоторых изображений. И, наконец, (4) сдвиг среднего уровня яркости, который для корректного проведения некоторых измерений яркости должен принимать значение V. Эксперт хочет преодо­леть эти трудности и затем выделить белым все точки изобра­жения, яркость которых находится в диапазоне от 1₁ до I₂, со­хранив яркость всех остальных точек без изменения. Предложите последовательность шагов обработки, придерживаясь которой эксперт достигнет поставленных целей.

11. Белые полосы на представленном тестовом изображении име­ют ширину 7 пикселей и высоту 210 пикселей. Расстояние между полосами составляет 17 пикселей. Как будет выглядеть это изображение после применения

(а) Среднеарифметического фильтра размерами 33?

(б) Среднеарифметического фильтра размерами 77?

(в) Среднеарифметического фильтра размерами 99?

Замечание: Эта и следующие задачи, связанные с фильтрацией этого изображения, могут показаться несколько утомительны­ми. Однако они стоят того, чтобы потратить усилия на их ре­шение, поскольку способствуют выработке настоящего по­нимания того, как действуют соответствующие фильтры. После того как Вам будет ясно, как именно конкретный фильтр ви­доизменяет данное изображение, Ваш ответ может представ­лять собой короткое словесное описание результата. Например, «результирующее изображение будет состоять из вертикальных полос шириной 3 пикселя и высотой 206 пик­селей». Не забудьте описать изменение формы полос, такое как округление углов. Эффекты, возникающие на краях, где ма­ски лишь частично накладываются на изображение, можно не принимать во внимание.

12. Решите задачу 11 для случая среднегеометрического фильтра.

13. Решите задачу 11 для случая среднегармонического фильтра.

14. Решите задачу 11 для случая медианного фильтра.

15. Решите задачу 11 для случая фильтра максимума.

16. Решите задачу 11 для случая фильтра минимума.

17. Исследуйте предельные эффекты многократного применения низкочастотного сглаживающего фильтра размерами 33 к дис­кретному изображению. Можете игнорировать влияние границ изображения.