4.5. Адаптивные фильтры

Адаптивный фильтр - это фильтр, передаточная функция (или частотная характеристика) которого адаптируется, т.е. изменяется таким образом, чтобы пропустить без искажений полезные составляющие сигнала и ослабить нежелательные сигналы или помехи [24]. Схема адаптивного фильтра представлена на рис.4.5.

Рис.4.5. Адаптивный фильтр

Подобный фильтр действует по принципу оценки статистических параметров сигнала и подстройки собственной передаточной функции таким образом, чтобы минимизировать некоторую целевую функцию. Эту функцию обычно формируют с помощью “эталонного” сигнала на задающем входе. Этот эталонный сигнал можно рассматривать как желаемый сигнал на выходе фильтра. Задача блока адаптации состоит в подстройке коэффициентов цифрового фильтра таким образом, чтобы свести к минимуму разность _n=_n-_n , определяеющую ошибку в работе фильтра. Варианты включения адаптивного фильтра паказаны на рис. 4.6,а) и б).

Для варианта на рис.4.6,а) оптимальный импульсный отклик адаптивного фильтра равен импульсному отклику “черного ящика”:

Фильтры первого рода - это фильтры для подавления шума. Здесь поступающий сигнал, являющийся смесью полезного сигнала с шумом (помехой) приложен ко входу x_n , а от другого источника, не содержащего никаких составляющих полезного сигнала, поступает образец “мешающего” сигнала - т.е. шума или помехи, тогда на выходе фильтра :

x_n = S_n + x^_n ;

y_n = S_n ;

а)

б)

_{Рис.4.6. Два варианта включения адаптивного фильтра}

Для варианта на рис.4.6,б) оптимальный импульсный отклик фильтра равен обратному импульсному отклику “черного ящика”:

Примером адаптивного фильтра второго типа является фильтр для коррекции искажений при передаче данных по линии связи. В этом случае вход линии связи возбуждается известным сигналом, а искаженный сигнал поступает на вход x. Затем фильтр перестраивается с помощью подачи на вход x^ набора известных неискаженных сигналов.

4.6. Оптимальный фильтр Винера

Определим импульсный отклик не рекурсивного адаптивного фильтра, позволяющего минимизировать среднеквадратичную погрешность при выделении сигнала из случайного шума.

Адаптивный фильтр формирует оценку:

(4.15)

где - ошибка,y_n - искомая величина, - оценка y_n .

(4.17)

- функция от последовательности входных сигналов x_n и набора весов фильтра h_k..

Всвою очередь:

где xn - исходный сигнал, S_n - белый шум с дисперсией .

Зададим как меру оценки среднеквадратичную ошибку:

При этом выходной сигнал может быть представлен в виде:

(4.20)

или

(4.21)

где ,.

Тогда:

Для определения минимума найдем производную поH^T:

Условие минимума:

Откуда:

Если вектор H^T и вектор ­Х­ не коррелированны, то:

(4.25)

- матрица автокорреляции входной сигнальной последовательности (размером NxN), y_nX_n^T=P- вектор взаимной корреляции между входным сигналом x_n и оцениваемым параметром y_n длиной N.

В итоге получаем:

или

(4.26)

Выражение (4.26) получило название уравнения Винера-Хопфа. Оно определяет правило формирования импульсного отклика адаптивного фильтра, обеспечивающего минимальную среднеквадратичную ошибку.

Адаптивный рекурсивный фильтр, позволяющий минимизировать среднеквадрачную ошибку сигнала при выделении его на фоне случайного шума, получил название фильтра Калмана [24].