Метод хорд

Рассматриваемый метод так же, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на интервале [ a,b], на концах которого функцияf (x) принимает значения разных знаков. Очередное приближение в отличие от метода половинного деления берем не в середине отрезка, а в точкеx , где пересекает ось абсцисс прямая линия (хорда), проведенная через точкиАиВ(рис. 5).

Рис. 5. Метод хорд.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки АиВ:

Для точки пересечения прямой с осью абсцисс ( x =x₀ ,y = 0) получим уравнение

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух [ a,x₀ ] и [x₀ , b], на концах которого функцияf (x) принимает значения разных знаков. Для рассматриваемого случая (рис. 5) выбираем отрезок [a,x₀ ], так какf(a)  f(x₀) < 0 . Следующая итерация состоит в определении нового приближенияx₁как точки пересечения хордыAB₁с осью абсцисс и т.д.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.

x_k+1 – x_k < ε

З а м е ч а н и е. Метод хорд и метод половинного деления очень похожи. При этом второй их них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Оба метода не требуют знания дополнительной информации о функции на всем интервале [a,b]. Например, не требуется, чтобы функция была дифференцируема. Даже для разрывных функций рассмотренные методы обладают гарантированной сходимостью.

Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона также предназначен для уточнения корня на интервале [ a,b], на концах которого функцияf (x) принимает значения разных знаков. Но этот метод использует дополнительную информацию о функцииf (x). Как результат он обладают более быстрой сходимостью, но в то же время, применим для более узкого класса функций, и его сходимость не всегда гарантирована.

Отделяя корни функции, следует учесть, что применение метода Ньютона требует, чтобы функция была монотонна и дважды дифференцируема, причем вторая производная f’’(x) на этом интервале не должна менять знак.

Cходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближенияx₀ . В общем случае, если задан интервал [a,b], содержащий корень, и известно, что функцияf (x) монотонна на этом интервале, то в качестве начального приближенияx₀ можно выбрать ту границу отрезка [a,b], где совпадают знаки функцииf (x) и второй производнойf’’(x). Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня.

Пусть нам известно начальное приближение к корню x₀. Проведем в этой точке касательную к кривойy =f (x) (рис. 6). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения.

Рис. 6. Метод Ньютона

Значение x₁легко найти из рисунка:

выражая отсюда x₁, получим

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k+1-го приближения имеет вид

Из этой формулы вытекает условие применимости метода: функция f (x) должна быть дифференцируемой иf ′ (x) в окрестности корня не должна менять знак.

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия f(x_k) < ε илиx_k+1 – x_k < ε