11

Lesson 6 1

Численные методы 1

Решение нелинейных уравнений 1

Постановка задачи 1

Локализация корней 2

Уточнение корней 4

Методы уточнения корней 4

Метод половинного деления 4

Метод хорд 5

Метод Ньютона (метод касательных) 6

Численное интегрирование 7

Постановка задачи 7

Метод прямоугольников 8

Метод трапеций 9

Метод парабол (формула Симпсона) 10

Lesson 6

Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:

• погрешность метода решения;

• погрешности округлений в действиях над числами.

Погрешность метода вызванатем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собойбесконечный процесс, которыйв пределеприводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.

Погрешность округлениязависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.

Решение нелинейных уравнений Постановка задачи

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:

f (x) = 0 ,

где f (x) – некоторая непрерывная функция аргументаx.

Всякое число x₀ , при которомf (x₀) ≡ 0, называется корнем уравненияf (x) = 0.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые(аналитические, точные) иитерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация(отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на осиx, в пределах которых содержится один единственный корень, иуточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Локализация корней

Для отделения корней уравнения f (x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [a,b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.

f(a)  f(b) < 0 ,

то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень.

Рис 1. Отделение корней. Функция f(x) не монотонна на отрезке [a,b].

Это условие, как видно из рисунка (1), не обеспечивает единственности корня. Достаточным дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке [a,b] является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием постоянства знака первой производнойf ′(x) .

Таким образом, если на отрезке [ a,b] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.

Воспользовавшись этим критерием, можно отделить корни аналитическимспособом, находя интервалы монотонности функции.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функцииy =f (x) . Например, график функции на рисунке (1) показывает, что эта функция на интервале [a,b] может быть разбита на три интервала монотонности и на этом интервале у нее существуют три корня.

Отделение корней можно также выполнить табличнымспособом. Допустим, что все интересующие нас корни уравнения (2.1) находятся на отрезке [A, B]. Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи.

Рис. 2. Табличный способ локализации корней.

Будем вычислять значения f (x) , начиная с точкиx =A , двигаясь вправо с некоторым шагомh(рис. 2). Как только обнаруживается пара соседних значенийf (x) , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргументаxможно считать границами отрезка, содержащего корень.

Надежность табличного способа отделения корней уравнений зависит как от характера функции f (x) , так и от выбранной величины шагаh. Действительно, если при достаточно малом значенииh (h <<|B −A |) на границах текущего отрезка [x, x +h] функцияf (x) принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнениеf (x) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функцииf (x) на отрезке [x, x +h] могут оказаться корни уравнения (рис. 3а).

Рис 3а Рис 3б

Также несколько корней на отрезке [x, x +h] могут оказаться и при выполнении условияf(x)  f(x+h) < 0 (рис. 3б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значенияh.

Отделяя таким образом корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска ( h/2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.