Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где

— функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование выражений вида

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t. Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Примеры

Вычислить: Пусть тогда и

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где — многочлен -й степени.

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

4. Метод A и B – интегрирование в неопределенно-рациональных выражениях.

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1.Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2.Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3.Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4.Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет

единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1.

2.

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где Затем применяются следующие формулы:

3.

4.

5.

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

5. Определенный интеграл и его свойства.

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной

трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком

функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной

интегрирования: .

2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3.Если , то, по определению, полагаем

4.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного

интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция интегрируема на и , то

.

7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке

6. Интеграл с переменным верхним пределом.

7. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение

производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:

, следовательно, . Воспользуемся этим

. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница

.

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением,