Основы вычислительной математики

погрешность.

Решение . Вычислим сначала абсолютную погрешность sin x по формуле (1.17) для этого надо еще перевести 1' в радианы: 1'=0,000291 — и подсчитать

sin x = cos x x = cos25 20' = 0,4279

Поэтому для вычисления sin(x) надо взять четырехзначные таблицы тригонометрии ческих функций, что дает sin х = sin 25°20' = 0,4279.

Относительная погреишость функции равна

δu =δx + 2δy +3δz = 3,8% ;

поэтому значение функции следует вычислять не более чем с двумя-тремя знаками: u = 801 103

(нельзя писать 801 000, это имело бы другой смысл). Абсолютная погрешность при этом составляет u = uδu = 801 103 0,038 = 30 103 .

Здесь целесообразно округлить результат до двух знаков:

По формуле (1.15) такова же будет абсолютная погрешность натурального логарифма, т. е. z = 0,005.

Поэтому z = ln(10,3+ 2,10) = ln12,40 = 2,517 .

Здесь результат имеет три верных знака; округление до верных знаков нецелесообразно, так как при этом

д) x = 0,45, x = 0,5·10-2, е) х = 1,115, x = 0,1 10−3 .

2. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях х и указать абсолютную и относительную погрешности результатов.

3. Для следующих функций вычислить значения при указанных значениях переменных. Указать абсолютную и относительную по грешности результатов, считая все знаки исходных данных верными.

радиусы его оснований R и г и образующая /, измеренные с точностью до 0,01 см, равны

R =23,64 см, r =17,31 см, l =10,21 см.

§ 6. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции

Эта задача имеет однозначное решение только для функции одной переменной y = f (x) : если эта функция дифференцируема и f '(x) ≠ 0 , то

Для функции нескольких переменных y=f(xl, х2, ..., хп) задача решается только при введении каких-либо дополнительных ограничений. Например, если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с большой точностью, чем значения остальных аргументов, то погрешность именно этого

применяют принцип равных влияний, считая, что в формуле (4.12)!!!(в источнике ссылается на формулу,

На практике часто встречаются задачи промежуточного типа между указанными крайними случаями. Мы рассмотрим соответствующие примеры.

П Р И М Е Р 1.12. С какой точностью следует измерить угол х в первой четверти, чтобы получить значение sinx с пятью верными знаками?

Решение . Если известно, что угол х > 6°, так что sin x > 0,1, то надо определить x так, чтобы выполнялось неравенство sin x < 0,5 10−5 . Для этого в соответствии с формулой (1.17) достаточно взять x < 0,5 10−5 , т. е. измерить угол х с точностью до 1". Если, сверх того, известно, что угол х > 60° и, значит,

т. е. достаточно измерить угол х с точностью всего до 2".

Но если угол х < 6°, например, 1° < х < 6°, то 0,01 < sin x < 0,1 и для обеспечения пяти верных знаков в значении sin л: придется обеспечить неравенство sin x < 0,5 10−6 , для чего придется измерять угол х с

точностью до 0,1".

П Р И М Е Р 1.13. С какой точностью следует определить радиус основания R и высоту Н цилиндрической банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%?

Решение. В формуле V = π R2 H число я можно взять с любым числом верных знаков, так что его погрешность не скажется на результате, и поэтому можно считать δV = 2δR +δH . Если можно обеспечить

7. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула

E = 1 l3P 4 d 3bs

где l — длина стержня, b и d — основание и высота поперечного сечения, s— стрела прогиба, Р—нагрузка. С

какой точностью следует измерить длину l и стрелу s, чтобы погрешность Е не превышала 5,5% при условии, что Р известна с точностью до 0,1%, величины b и d известны с точностью до 1%, l ≈ 50 см, s ≈2,5 см?

Глава 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

При вычислении с помощью счётных машин значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения практики вычислений. Дело в том, что основными операциями большинства вычислительных машин являются сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому возникает необходимость представить рассматриваемую математическую задачу в виде последовательности этих элементарных операций. Учитывая ограниченность объёма памяти машины и необходимость экономии машинного времени, желательно эти операции разбить на повторяющиеся циклы и выбрать соответствующий алгоритм. Ниже мы рассмотрим приёмы, сводящие вычисление некоторых функций к таким циклам из элементарных операций.

Таким образом, можно, не производя деления, определять коэффициенты частногоQ(x), а также остаток

умножений. Показано, что для многочленов общего вида нельзя построить схему более экономную в смысле числа операций, чем схема Горнера.

П р и м ер 1.1. Вычислить при x = −1,5 значение многочлена

P(x)= x7 − 2x6 + x5 −3x4 + 4x3 − x2 + 6x −1.

§ 2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью степенных рядов

Здесь рассматриваются только такие трансцендентные функции, которые являются суммами своих рядов Маклорена

Беря сумму нескольких первых членов ряда Маклорена, получаем приближённую формулу

f (x)≈ Pn (x),

Pn (x)= ∑∞ f (kk)!(0)xk .

k =0

При этом остаток ряда

Rn (x)= f (x)− Pn (x)

Представляет ошибку при замене f (x) многочленом Pn (x). Оценка остатка позволяет определить

требуемое число слагаемых, т.е. степень n многочлена Pn (x).

Заметим, что так как расчёт суммарной погрешности представляет собой трудоёмкую операцию, то на практике для обеспечения заданий точности все промежуточные вычисления проводят с одним или двумя запасными знаками.

1. Вычисление значений показательной функции.

Для показательной функции справедливо разложение

Вычисления удобно вести, пользуясь следующей рекуррентной записью:

Для остатка ряда может быть получена следующая оценка :

Rn (x) < un при 0 < 2 x ≤ n;

ex = eE(x) eq.

Первый множитель eE(x) находится с помощью умножения

eE(x) = e e…e, если E (x)> 0,

E(x) раз

и

eE(x) = 1e 1e…1e , если E (x)< 0,

−E(x) раз

Второй множитель вычисляется с помощью степенного разложения

eq = ∑∞ qn .

n=0 n!

При 0 ≤ q <1 этот ряд быстро сходится, так как

0≤ Rn (q)< n1!n qn+1.

Пр и м е р 2.1. Найти e с точностью до 10−5.

Р е ш е н и е. Пользуемся формулой

знаками. Последовательно имеем

S7 =1,6487212.

Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим

e =1,64872.

Для вычисления значений показательной функции ax (a > 0) можно использовать формулу ax = exlna .

2. Вычисление значений синуса и косинуса.

Для вычисления значений функции sin x и cos x пользуемся степенными разложениями

Ряды (2.6) и (2.7Ошибка! Источник ссылки не найден.) при больших x сходятся медленно, но, учитывая периодичность функций sin(x) и cos(x) и формулы приведения тригонометрических функций, легко

прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешностиε .

υ3 = −3x24υ2 = +0,000354,

υ4 = −5x26υ3 = −0,000001.

Отсюда

cos17°24′=0,95424.

3. Вычисление значений гиперболического синуса и гиперболического косинуса.

Пользуемся степенными разложениями