Основы вычислительной математики

Способ разложение в ряд Тейлора функции двух переменных:

Отсюда найдем аппроксимацию производной с помощью центральных разностей:

Записывая разложения в ряд (7.7) при разных значениях х и у, можно вывести формулы численного дифференцирования с необходимым порядком аппроксимации.

Приведем окончательные формулы для некоторых аппроксимаций частных производных. Слева указывается комбинация используемых узлов (шаблон), которые отмечены кружочками. Значения производных вычисляются в узле (xi,yi), отмеченном крестиком (напомним, что на шаблонах и в таблице 7.2 по горизонтали изменяются переменная х и индекс i, по вертикали — переменная у и индекс i):

Приведенные аппроксимации производных могут быть использованы при построении разностных схем для решения уравнений с частными производными.

§2. Интегрирование. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона. Метод сплайнов. Адаптивные алгоритмы. Кратные интегралы. Метод Монте-Карло

2.1 Интегрирование по частям

Для этого метода используется формула

Где u и v – дифференцируемые функции от x.

Для применения этой формулы подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Если под интегралом стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за u обычно принимают не алгебраическую функцию. И наоборот.

ПРИМЕР:

2.2 Метод разложения

Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.

2.3 Метод подстановки

Метод замены переменной заключается в том, что вводится новая переменная с помощью соотношения x = ϕ(t) .

Тогда dx = ϕ′(t)dt и исходный интеграл преобразуется следующим образом, где ϕ(t) - дифференцируемая функция. Затем находится интеграл из правой части (если это возможно) и осуществляется возврат к исходной переменной x, используя соотношение t = φ(x) , полученное из соотношения x = ϕ(t) , выражая t

вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников. Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления. Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)| ≤ M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях

абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа ε > 0 , если взять

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

2.6 Метод трапеций

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (7.10) и (7.11). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (7.10) и (7.11):

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим

площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рисунок 7.3) . Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемой в методе прямоугольников.

Рисунок 7.3

Формулу (7.14) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности Rn ,

возникающей при замене левой части (7.14) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

где M 2 - максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.

Шаг численного интегрирования определяется из следующего неравенства:

Следовательно, Rn убывает при n → ∞. Абсолютная погрешность Rn будет меньше наперед заданного

2.7 Метод парабол (метод Симпсона)

Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, дограниченных «сверху» угами парабол, являются более близкими к значениям площадей

соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок [a,b] делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

x0 = a, x1 , x2 ,...x2n−2 , x2n−1 , x2n = b

а y0 , y1 ,...y2n – соответствующие значения подинтегральной функции на отрезке [a,b]. Произведем квадратичную интерполяцию данной

Рисунок 7.4

подинтегральной функции на каждом из отрезков разбиения (заменим дугу графика подинтегральной функции дугой параболы с вертикальной осью) (Рисунок 7.4)

Приведём без вывода формулу парабол в окончательном виде:

Если подинтегральная функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7.16) имеет место оценка:

где M 4 - максимум модуля четвертой производной подинтегральной функции на отрезке [a,b]. Из формулы (7.17) при заданной точности ε получаем шаг:

где M 4 = maxx [a;b] f IV (x)

Cравнивая между собой оценки (7.15) и (7.17), замечаем, что с увеличением n поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально величине 1 , а для формулы парабол – пропорционально величине

n2

1 , т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники n4

вычислений оба метода одинаковы.

2.8 Адаптивные алгоритмы.

Из анализа погрешностей методов численного интегрирования следует, что точность получаемых результатов зависит как от характера изменения подынтегральной функции, так и от шага интегрирования. Будем считать, что величину шага мы задаем. При этом ясно, что для достижения сравнимой точности при интегрировании слабо меняющейся функции шаг можно выбирать большим, чем при интегрировании резко меняющихся функций.

На практике нередко встречаются случаи, когда подынтегральная функция меняется по-разному на отдельных участках отрезка интегрирования. Это обстоятельство требует такой организации экономичных численных алгоритмов, при которой они автоматически приспосабливались бы к характеру изменения функции. Такие алгоритмы называются адаптивными (приспосабливающимися). Они позволяют вводить разные значения шага интегрирования на отдельных участках отрезка интегрирования. Это дает возможность уменьшить машинное время без потери точности результатов расчета. Подчеркнем, что этот подход используется обычно при задании подынтегральной функция y = f(x) в виде формулы, а не в табличном виде.

Программа, реализующая адаптивный алгоритм численного интегрирования, входит обычно в виде стандартной подпрограммы в математическое обеспечение ЭВМ. Пользователь готовой программы задает границы отрезка интегрирования а, Ь, допустимую абсолютную погрешность ε и составляет блок программы для вычисления значения подынтегральной функции f(х). Программа вычисляет значение интеграла I с заданной погрешностью ε , т. е.

Разумеется, не для всякой функции можно получить результат с заданной погрешностью. Поэтому в программе может быть предусмотрено сообщение пользователю о недостижимости заданной погрешности. Интеграл при этом вычисляется с максимально возможной точностью, л программа выдает эту реальную

∫∫ f (x, y)dxdy ≈ f (xi , y j ) xi y j

Gij

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивании их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x, у). Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

R ≈ O(1/ M 2 +1/ N 2 ) ≈ O( x2 + y2 )

Таким образом, формула 7.27 имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M/N остается постоянным.

Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев ее целесообразно привести к прямоугольному виду путем соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного

четырехугольника: a ≤ x ≤ b,ϕ1(x) ≤ y ≤ϕ2 (x) . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены

Кроме того, формула (7.27) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Другим довольно распространенным методом вычисления кратных интегралов является их сведение к последовательному вычислению определенных интегралов.

Интеграл (7.24) для прямоугольной области можно записать в виде

Для вычисления обоих определенных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные методы.

Если область G имеет более сложную структуру, то она либо приводится к прямоугольному виду с помощью замены переменных, либо разбивается на простые элементы.

Для вычисления кратных интегралов используется также метод замены подынтегральной функции многомерным интерполяционным многочленом. Вычисление коэффициентов этих многочленов для простых областей обычно не вызывает затруднений.

Существует ряд других численных методов вычисления кратных интегралов. Среди них особое место занимает метод статистических испытаний, который мы вкратце изложим.

2.10 Метод Монте-Карло.

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина ξ , математическое ожидание которой равно искомой величине х:

Мξ =x.

Проводится серия п независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется)

Пусть η - равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается соотношением

0, x < 0, Pη(x) = 1,0 ≤ x ≤1,

0, x >1.

Тогда любая функция ξ = f (η) также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно

Следовательно, читая это равенство в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл ∫1 f (x)dx может

0

быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины ξ , которая определяется независимыми реализациями η , случайной величины η c равномерным законом распределения:

распределенных на отрезке [0, 1].

Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования -таких чисел.

Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для -выработки случайных величин, однако при использовании ЭВМ этот способ непригоден, поскольку трудно дважды получить одинаковые совокупности случайных чисел, которые необходимы при отладке программ.

Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись независимо. Их можно вводить в ЭВМ, хранить в виде файла на магнитной ленте или магнитном диске коллективного пользования. А еще лучше заготовить собственный файл случайных чисел.

В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм выработка таких чисел по мере потребности в них (подобно тому как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками.

ПРИМЕР:

Задача. Методом трапеций с точностью ε =10−2 и Симпсона с точностью ε =10−4 вычислить определённый интеграл:

1 dx

∫0 1+ x

Замечание. Данный в примере интеграл вычисляется точно:

Примеры, предлагаемые для самостоятельного решения, не вычисляются точно.

Решение.

1) Метод трапеций.