2014 Модуль 3 Tipovik_III_LAST11

Рис. 5

Точка самопересечения характерна тем, что в ней совпадают значения абсциссы (и ординаты) при разных значениях параметра. Так как

, то значения совпадают при значениях параметра

Чтобы функция принимала при тех же значениях параметра одно и то же значение, должно выполняться равенство

Откуда

Таким образом, при и при имеем , т.е. точка является единственной точкой самопересечения. Когда меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти. При изменении от 0 до 3 обе функции и возрастают, и точки образуют нижнюю часть петли. Далее при убывает, а сначала продолжает возрастать, а затем убывает. Так и получается петля, при этом фигура находится слева. Такой обход соответствует возрастанию параметра.

Площадь искомой петли находим по формуле

30

Задача 6.

Найдите площадь, заключѐнную между осью Ox и верзиерой, определяемой уравнениями

Рис. 6

Решение. Значение аргумента x изменяется от . Кривая симметрична относительно оси Oy. Так как параметр также меняется от , то для вычисления площади используем несобственный интеграл с бесконечными пределами:

31

Задача 7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой

Рис. 7

Решение. Для построения кривой учтѐм, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить на , то переменная x не меняется, а изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична относительно оси . При замене же на переменная не меняется, а меняет только свой знак. Это значит, что кривая симметрична относительно оси .

вид кривой изображѐн на рисунке 7. При изменении параметра от 0 до

32

обе функции сохраняют принимают неотрицательные значения. При этом возрастает на всем промежутке, а возрастает при и

убывает при . Далее на отрезке изменения параметра обе функции убывают, имея при этом различные знаки. И, наконец, при функция продолжает убывать, в то время как функция

уже возрастает. В силу симметричности фигуры относительно осей координат нам достаточно найти площадь четверти фигуры. Тогда искомая площадь будет равна полученному результату, умноженному на 4:

Задача 8.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной окружностями

и (рис.8).

Решение. Окружность лежит в правой полуплоскости, проходит через полюс , касаясь вертикальной прямой. Вторая окружность лежит в верхней полуплоскости, также проходит через полюс , касаясь гоизонтальной прямой. Очевидно, что полюс является точкой пересечения окружностей. Вторую точку пересечения находим из уравнения

. Поэтому имеем

33

Рис. 8

Задача 9.

Вычислите длину дуги у кривой , заключѐнной между точками с ординатами и .

Решение. Здесь удобнее рассматривать в качестве независимой переменную .

34

Рис. 9

Тогда найдѐм производную функции по переменной :

,

Длину дуги вычислим по формуле:

Задача 10.

Вычислите длину дуги кривой , заключѐнной между точками с абсцисами и

35

Задача 11.

Найдите длину замкнутой кривой

Решение. Кривая задана в полярных координатах. Найдѐм границы изменения угла . Так как – расстояние, то должно выполняться неравенство И значит . Отсюда

При изменении от 0 до длина радиус-вектора возрастает от 0 до , а конец радиус-вектора описывает дугу (рис.11). Когда меняется от до величина убывает от до 0 (дуга ). Таким образом получаем замкнутую кривую, симметричную относительно прямой

36

. Значит для вычисления длины кривой мы можем найти половину еѐ длины и результат умножить на 2.

Рис. 11

Длину находим по формуле

37

Задача 12. Вычислите длину логарифмической спирали от некоторой еѐ точки до переменной точки .

Рис. 12

Решение. В этом случае, поскольку мы не знаем, какая из величин или больше, то находим длину дуги как модуль интеграла

Таким образом, длина дуги логарифмической спирали пропорциональна приращению полярного радиуса дуги.

Задача 13. Вычислите длину петли кривой

38

Рис. 13

Решение. Найдѐм пределы интегрирования. Обе функции и определены при всех значениях параметра . Кроме того, – чѐтная и неотрицательная, а меняет знак и нечѐтная. Поэтому кривая расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс. Определим точки самопересечения кривой:

Решение системы даѐт единственную точку самопересечения кривой, а именно при значениях параметра . Таким образом, границами интегрирования являются значения параметра Длину дуги вычисляем по формуле:

39