ДМ_КИ / Lect10_ДМ_КИ
.pdf
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
БУЛЕВА АЛГЕБРА
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ЛЕКЦИЯ 10 В.И. ХАХАНОВ
Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, |
1 |
кафедра АПВТ, тел. 7021 326, е-mail: ri@kture.kharkov.ua |
|
Способы представления булевых функций |
2011 |
Тема: Способы представления булевых функций
Цель лекции – изучить способы представления булевых функций для описания цифровых проектов
Содержание:
•Числовое представление булевых функций
•Аналитическая форма записи ФАЛ
•Геометрическая интерпретация булевых функций
•Кубическое представление
•Схемотехническое представление
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
2 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Литература
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 32-61с.
Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высш. шк., 1987. 272 с.
Беннеттс Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1990. 176 с.
Бондаренко М.Ф., Кривуля Г.Ф., Рябцев В.Г., Фрадков С.А., Хаханов В.И. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей. К.: НМЦ ВО. 2000. 306 с.
Богомолов А.М., Сперанский Д.В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-
та, 1986. 240с.
Хаханов В.И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К.: ИСМО, 1997. 308 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001.
С.31-35.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С.
263-268. |
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
3 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Термины
Базовые понятия:
булева переменная,
булева функция,
двоичная
система счисления,
закон
склеивания
Ключевые слова:
числовое,
аналитическое,
кубическое,
схемотехническое
представления булевых функций
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
4 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Числовое представление
Используется для упрощения представления ФАЛ
Вместо полного перечисления термов указывают номера двоичных наборов, на которых функция принимает единичные значения
Пример
f (x1, x2 , x3) = F(0,3,4)
1
№ |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
5 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Аналитическая форма записи
По таблице истинности можно получить представление функции в виде СДНФ
№ |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1,x2,x3) |
№ |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
f (x1, x2 , x3) = x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 =
=F(0,0,0) F(0,1,1) F(1,0,0)
14243 123 14243
на0−мнаборе на3−мнаборе на4−мнаборе
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
6 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Геометрическое представление ФАЛ
Используется для интерпретации преобразований над логическими функциями
ФАЛ от двух переменных изображают на плоскости
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x1 |
x2 |
|
01(1) |
11(3) |
0 |
0 |
0 |
|
||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
00(0) |
10(2) |
x1
x |
x1x2 x1x2 |
= x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
x1x2 |
x1x2 |
=x |
||||
= |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
x |
x |
|
x |
x |
|
x |
x |
2 |
|
1 |
||||
1 |
1 |
|
1 |
|
2 x |
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 x1x2 = x2
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
7 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Геометрическое представление булевых функций от трех переменных. 1
Для функции трех переменных геометрическое представление выполняют в виде куба
Вершины обозначаются:
- десятичными цифрами - двоичными цифрами - произвольными переменными
Ребра куба поглощают вершины
|
|
x1x3 |
|
x1x 2 x3 |
x1x2x3 |
||
Грани куба поглощают ребра
x1x2x3 x1x3 x1x2x3
x1x2 x1 x1x2
x1x 2 x3 |
x1x3 |
x1x2x3 |
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
8 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Геометрическое представление булевых функций от трех переменных. 2
Для функции трех переменных геометрическое представление выполняют в виде куба
Вершины обозначаются:
- десятичными цифрами - двоичными цифрами - произвольными переменными
x3 |
|
|
|
001 |
0X1 |
|
011 |
101 |
1X1 |
111 |
|
|
00X |
01X |
|
|
11X |
||
10X |
|
|
|
|
|
|
000 |
0X0 |
010 |
|
|
100 |
|
X10 |
x |
2 |
1X0 |
110 |
|
||
|
|
|
||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kharkov National University of Radio Electronics, |
|
Design Automation Department, |
9 |
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua |
Способы представления булевых функций |
2011 |
Пример геометрического представления ФАЛ
№ |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Kharkov National University of Radio Electronics, Design Automation Department,
phone 7021 326, E-mail: ri@kture.kharkov.ua
Точками отмечаются вершины, в которых функция принимает единичное значение
x3 |
|
|
|
|
|
001 |
0X1 |
|
011 |
|
|
101 |
|
1X1 |
111 |
|
|
|
|
00X |
01X |
||
|
|
11X |
|||
|
|
|
|
|
|
10X |
|
0X0 |
010 |
|
|
|
|
|
|||
000 |
|
|
|||
100 |
|
|
X10 x |
2 |
|
|
1X0 |
110 |
|
||
|
|
|
|
||
x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
10