Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

ДМ_КИ / Lect04_ДМ_КИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

833.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Свойства бинарных отношений. 1

1. Рефлексивность

R A2 # рефлексивно, если

ai A (ai,ai) R A2

матрица смежности имеет единичную главную диагональ:

1 ... ...

... 1 ...

... ... 1

в графе – петли: a

ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,

тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

2. Симметричность

R A2 # симметрично, если

ai, aj A : (ai,aj) R

(aj,ai) R A2

матрица смежности симметрична относительно главной диагонали:

... 1 0 1 ... 0 0 0 ...

в графе – симметрично направленные дуги:

ai aj

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Свойства бинарных отношений. 2

3. Транзитивность

R A2 # транзитивно, если

ai,aj,ak A :

(ai,aj) R, (aj,ak) R (ai,ak) R A2

в графе – транзитивно замыкающая дуга:

ai ak

Дополнительные свойства:

антирефлексивность

нерефлексивность

антисимметричность

несимметричность

нетранзитивность

Пример

bd e

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	12
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	12
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Бинарное отношение эквивалентности

Обозначение: R~

Граф	a	c

Рефлексивность: x x

Симметричность: x y y x

Транзитивность: x y, y z x z

Пример

A	D	B	1	& 3
	G			& 3
01	G	10
01		10
	H	I
		I
F	11	E		&
F	11			&

2	4
	4
C

ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,

тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарное

отношение

эквивалентности

Рефлексивность

Симметричность

Транзитивность

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Разбиение множества

Def: разбиение Г множества А $ семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с А

Свойства Г В(А)

Ki c: Ki ≠

Ki, Kj Г: Ki∩Kj =

U K j = A

K jΓ

Пример

Для трехэлементного

множества

A={a,b,c} разбиениями

являются

Г1={ {a, b, c} }

Г2={ {a}, {b}, {c} }Г3={ {a}, {b,c} }

Г4={ {b}, {a,c} }Г5={ {c}, {a,b} }

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	14
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	14
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Процедура построения разбиения множества

Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности R~

Выберем элемент a1 A и образуем подмножество (класс) K1 A, состоящий из элемента а1 и всех элементов, эквивалентных ему:

a1 A K1 A: K1 =[a1]={x A :x ~ a1}

Выберем элемент a2 A, а2≠а1, и образуем подмножество (класс) K2 A, состоящий из элемента а2 и всех элементов, эквивалентных ему:

a2 A,a2 K1 A K2 A: K2 =[a2 ]={x A, x K1 : x ~ a2}

Таким образом, получаем систему классов, объединение которых совпадает с множеством А

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	15
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	15
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Классы эквивалентности

Построенная система классов обладает следующими свойствами:

образует разбиение

любые два элемента из одного класса эквивалентны

любые два элемента из разных классов не эквивалентны

ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,

тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Def: класс эквивалентности [=] элемента =

[a]={ x | x a, x A }

Свойства классов эквивалентности:

a [a]

b [a] [b]=[a]

[a]∩[b]= ,

[a]∩[b]≠ [a]=[b]

U[a]= A

a A

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Матрица бинарного отношения эквивалентности

Матрицу бинарного отношения эквивалентности можно представить

в блочно-диагональном виде, где каждая подматрица, состоящая из единиц, соответствует классу эквивалентности

			a		b		c ... ... ...			x		y z





	a		1	1		1



	b			1		1
		1




	c	1		1		1




.						1		1





.						1		1




.								1	1		1





x								1	1		1





	y							1	1		1





	z										1

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	17
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	17
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Выводы. 1

При исследовании возникает задача выбора существенных свойств, деталей, признаков моделируемого объекта. Отношение эквивалентности, с одной стороны, отождествляет второстепенные, несущественные признаки и свойства, и, с другой – выделяет в качестве представителей классов эквивалентности основные свойства.

Понятия "отношение эквивалентности", "фактормножество", "классы эквивалентности" используются при построении математической модели некоторой реально функционирующей сложной системы.

Модель есть некоторое фактор-множество элементов моделируемого объекта относительно некоторого отношения эквивалентности, заданного на исходной системе.

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	18
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	18
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Выводы. 2

Если моделируемый объект представлен в виде композиции элементов некоторого базисного множества, то вопрос о соотношении модели и ее прообраза разрешается на основе информации об элементах, на которых вводится отношение эквивалентности - либо это сами элементы базисного множества, либо некоторые подмножества элементов, либо подмножества множества подмножеств элементов.

Множество	+	Отношение	=	Модель

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	19
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	19
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

Бинарные отношения. Отношение эквивалентности

2011

Тест-вопросы

1. Какоеизотношенийявляется

бинарным:

а) R M3; б) R M2; в) R=M2.

2.Еслиматрица, описывающаябинарное отношение, содержитнаглавной диагоналинулииединицы, то отношение:

а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) нерефлексивно.

3.Есливсевершиныграфа, описывающегоотношение, имеютпетли, тоотношение:

а) рефлексивно; б) антирефлексивно; в) нерефлексивно.

4.Если в графе, описывающем отношение, имеетсяхотябыодна паравершин, соединенныходной дугой, являетсялиданное отношениесимметричным?

а) да; б) нет.

5.Классыэквивалентности:

а) попарнопересекаются; б) попарнонепересекаются. 6. Верноли, чтолюбыедва элементаизодногокласса

эквивалентностиэквивалентны? а) да; б) нет.

	ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,	20
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua	20
	тел. 7021 326, e-mail: ri@kture.kharkov.ua

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке ДМ_КИ

#
14.04.2015922.21 Кб76Lect01_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.20151.11 Mб66Lect02_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.20151.02 Mб59Lect03_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.2015833.95 Кб59Lect04_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.20151.07 Mб61Lect05_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.2015636.85 Кб61Lect06_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.2015820.73 Кб59Lect07_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.2015944.63 Кб61Lect08_ДМ_КИ.pdf
#
14.04.20151.62 Mб50Lect09_ДМ_КИ.pdf