Розв’язок

Спочаткуперевіримо, чи є М=15 первісним елементомGF(23). Для цього він повинензадовільняти вимогам:

1. або ;

2. , де а – один з множників канонічного розкладу числа Р.

Проведеморозрахунки для заданихзначеньР та М:

- перша умовавиконується. Далізнайдемоканонічнийрозклад числа Р та перевіримо другу умову:

23 - 1 = 22 = 2 ∙ 11- отже, а₁ = 2 і а₂ = 11.

Таким чином умов 2 такожвиконується, а, отже, М – первіснийелемент у поліGF(23)/

Відкритий ключ Yасиметричної пари (x, Y) можна знайти за формулою Y = М^ХmodN. Підставимо задані значення M, x та N:

Y = 15²⁰mod23 = 332525673007965087890625mod 23 = 9

ЗАДАЧА 3.11.11 Зашифруйте та розшифруйте повідомлення М=(13,17), використовуючи направлений шифр в групі точок ЕК, якщо Р=23, a=1, b=1 (крива y²=(x³+x²+1)mod23), G=(17,20), n=7.

Решение:

Отправитель сообщения выбирает случайное (k=3).

Расчитывают одноразовый открытый ключ

C1=k*G=3*(17;20)

λ=(3+a)/2y1(mod 23)=(3*17*17+1)/40(mod 23)=848/40(mod 23)=1

2G=(13;7)

λ=(y2-y1)/(x2-x1)(mod 23)=(7-20)/(13-7)(mod 23)=9

3G=(5;19)

Одноразовый открытый ключ=(5;19)

Q=d*G-открытый ключ получателя

d-долговременный собственный ключ (d=2)

Q=2G=2*(17;20)=(13;7)

C2=M+k*Q=(13;7)+3*(13;7)

2(13;7)=(5;4)

3(13;7)=(17;3)

Получателю посылают открытый ключ и зашифрованный текст

Расшифрование :

Получатель вычисляет d*= 2(5;19)

- d*= (11;22)- (17; 3)= (11;22)+(17;-3)=(11;22) + (17;20)

_{ЗАДАЧА 3.11.12.}

Сформуйте пропозиції та реалізуйте алгоритм направленого шифрування в групі точок еліптичних кривих, якщо порівняння кривої має вигляд:

y²=(x³+x+6)mod11, G=(2,7),

особистий ключ х_i=7.

Знайдіть відкритий ключ А_i користувача. Виробіть криптограму С_М , якщо М=(10,9), k=3. Сформуйте пропозиції та здійсніть розшифрування криптограми С_М.

_{Розв’язок задачі}

_{Направлене шифрування повідомлення М буде здійснюватися наступним чином:}

_{С2 = M + kQ}

_{де k — сеансовий ключ (обирається випадково при початку нового сеансу)}

_{Q — відкритий ключ користувача А, котрому адресується повідомлення.}

_{Також обчислюється відкритий ключ сеансу:}

_{С1 = kG}

_{де G — базова точка.}

_{Таким чином криптограма складається з двох точок на еліптичній кривій: (С1, С2).}

_{Розшифрування відбувається наступним чином:}

_{Користувач А, котрому була адресована криптограма впевнюється, що пара точок (С1, С2) належать еліптичній кривій. Далі отримується початкове повідомлення як:}

_{M’ = C2 - dC1 = M + kQ - dkG = M + kdG - dkG = M}

_{Таким чином криптоперетворення є зворотнім та однозначним.}

_{Тепер нехай рівняння кривої має вигляд y2 = x3+x+6, а базова точка G=(2,7).}

_{Здійснимо шифрування повідомлення М = (10,9) згідно алгоритму, наведеного вище, використовуючи ключ сеансу k=3. Розрахуємо відкритий ключ абонента:}

_{Q = dG = 7(2, 7) = (7, 2)}

_{Далі зашифруємо повідомлення:}

_{C2 = M+kQ = (10, 9) + 3(7, 2) = (10, 9) + (3, 5) = (10, 2)}

_{А також відкритий ключ сеансу:}

_{C1 = kG = 3(2, 7) = (8, 3)}

_{Таким чином, зашифроване повідомлення представляє собою пару точок (С1, С2) = ((8, 3), (2, 7)).}

_{Тепер розшифруємо повідомлення:}

_{M’ = C2 - dC1 = (10, 2) - 7(8, 3) = (10, 2) - (3, 5) = (10, 9)}

_{Як видно, М та М’ співпадають, отже розшифрування відбулося вірно.}