Практичне заняття №4 (3.3)

з дисципліни «ПРИКЛАДНА КРИПТОЛОГІЯ»

Тема заняття

Джерела ключів асиметричних криптосистем та їх властивості

Навчальні питання ПЗ

4.1 Основні теоретичні положення відносно ключів асиметричних криптосистем

4.1.1 Загальні відомості про ключеві дані

В таблиці 9.1 наводиться опис ключів для асиметричних криптосистем. У таблиці 9.2 наведено результати порівняння ключів( по стійкості) для визнаних крипто перетворень, що знайшли застосування в національних, регіональних та міжнародних стандартах [12,173]. У стовпці 1 наведено число бітів ключа для блочного симетричного шифру. У стовпці 2 подано алгоритми симетричних криптографічних перетворень. У стовпці 3 поданий мінімальний розмір параметрів для крипто перетворень(стандартів0, що ґрунтуються на перетвореннях у кінцевих полях. Прикладами таких алгоритмів можуть бути FІPS 186-3 та ГОСТ 34.310-95 – для цифрових підписів, а також алгоритм Діффі - Геллмана (DH) і алгоритм узгодження ключів MQV, як визначено в [46, 119–120], де Lв – розмір відкритого ключа, а Lо – розмір особистого ключа. У стовпці 4 подано значення k (розмір модуля перетворення) для криптографічних перетворень, що ґрунтуються на складності вирішення задач факторизації, наприклад RSA алгоритм ANSX9.31 і PKCS#1. Посилання на ці специфікації подані у FІPS 186-3 для цифрових підписів. Значення k зазвичай використовують для того, щоб указати розмір ключа. У стовпці 5 наведено порядок базової точки для криптографічних перетворень у групі точок еліптичних кривих для встановлення ключів у [119–120]. Значенням f позначено розмір ключа (порядок базової точки n = 2).

В таблиці 9.9. наведені аналогічні дані відносно направленого шифрування в кільці зрізаних поліномів та для функцій гешування. Там же, тобто в в таблиці 9.3, наведені дані відносно [ ] строків їх застосування, що рекомендуються.

Таблиця 9.1 - Асиметричні криптографічні перетворення для реалізації направленого шифрування

Параметри НШ/ Математичний апарат	Особистий ключ НРШ	Відкритий ключ НЗШ (сертифікат)	Асиметрична пара (ключ)	Загальні параметри крипто перетворення	Сертифікати	Складність крипто аналізу
НШ в кільці (RSA)	Di	Ei	(Di , Ei)	N = P Q	Еi	Субекспоненційна
НШ в полі Галуа F(P)	Хi	Yi=gXi(mod P)	(Xi, Yi)	P, q, g	Yi	Субекспоненційна
НШ в групі точок еліптичних кривих Е(F(q))	di	Qi=di G(modq)	(di, Qi)	a, b, G, n, f(x)(P), h	Qi	Експоненційна
НШ в гіпереліптичних кривих	Сi	D2= ci D1	(ci, D2)	f(x), g(x), q, D1, g, J	D2	Експоненційна
НШ зі спарюванням точок еліптичних кривих	diD =s QiD	QiD=H1 (ID)	(diD, QiD)	G1, G2, e, H1, P, H2, H3, F2m, Pp	QiD	Експоненційна – субекспоненційна
НШ в кільці зрізаних поліномів (NTRU)	f = 1+pF (modq)	h= f 1*g*p(modq)	(f, h)	N, q, p, f, g ,df, dg, c		Експоненційна – субекспоненційна

Таблиця 9.2

Порівняння стійкості стандартизованих асиметричних крипто перетворень

Рівень стійкості, в бітах	Симетричні	Оцінка часу крипто аналізу, MIPS-years	Геш функції	Параметри асиметричних перетворень
				DSA	RSA	EC-DSA	IBE (BF, BB1)	NTRU
До 2010 р. (мін. 80 біт стійкості)	2TDEA 3TDEA AES-128 AES-192 AES-256	109	SHA-1, SHA-224, SHA-256, SHA-384, SHA-512	Min.: L = 1024; N =160	Min.: k=1024	Min.: f=160	Min.: p = 512 q = 160	N =263 q =2048 df = 113
До 2030 р. (мін. 112 біт стійкості)	3TDEA AES-128 AES-192 AES-256	1017	SHA-224, SHA-256, SHA-384, SHA-512	Min.: L = 2048 N = 224	Min.: k=2048	Min.: f=224	Min.: p = 1024 q = 224	N =401 q =2048 df = 113
Після 2030 (мін. 128 біт стійкості)	AES-128 AES-192 AES-256	1023	SHA-256, SHA-384, SHA-512	Min.: L = 3072 N = 256	Min.: k=3072	Min.: f=256	Min.: p = 1536 q = 256	N =449 q =2048 df = 134
Рівень стійкості 192 біта	AES-192 AES-256	1041	SHA-384, SHA-512	Min.: L = 7680 N = 384	Min.: k=7680	Min.: f=384	Min.: p = 3840 q = 384	N =677 q =2048 df = 153
Рівень стійкості 256 біта	AES-256	1063	SHA-512	Min.: L = 15360 N = 512	Min.: k=15360	Min.: f=512	Min.: p = 7680 q = 512	N =1087 q =2048 df = 120

Таблиця 9.3

Алгоритми і параметрb NTRU , що рекомендуються

Обмеження дії	Рівень безпеки	Блоковий шифр	Функція гешування	Множина параметрів NTRU Х9.98 [ ]
2030	112-біт	Triple-DES (тільки 3 ключі), AES-128, AES-192, AES-256	SHA-224, SHA-256, SHA-384, SHA-512	ees401ep1, ees541ep1, ees659ep1
2031 і пізніше	128-біт	AES-128, AES-192, AES-256	SHA-256, SHA-384, SHA-512	ees449ep1, ees613ep1, ees761ep1
	192-біт	AES-192, AES-256	SHA-384, SHA-512	ees677ep1, ees887ep1, ees1087ep1
	256-біт	AES-256	SHA-512	ees1087ep2, ees1171ep1, ees1499ep1

4.1.2 Генерування ключів в системі rsa

Генерування асиметричної ключової пари. Система RSA відноситься до криптосистем з відкритими ключами. В цій системі ключі Е_kD_k, причому один з них має бути особистим, а другий – відкритим. Наприклад, Е_k – особистий, а D_k – відкритий, якщо вони використовуються для ЕЦП і навпаки, якщо використовуються для направленого шифрування.

Усі параметри (N,P,Q) також поділяються на 2 класи: N – відкритий, P,Q – конфіденційні (секретні).

Сутність забезпечення моделі взаємної недовіри – кожен користувач генерує ключі сам собі. Особистий ключ залишає в себе і забезпечує його строгу конфіденційність. Відкритий ключ розсилає всім користувачам, з якими він зв'язаний. Користувач також забезпечує цілісність і дійсність відкритих ключів.

Е_k, D_k – мають вибиратися з повної множини випадково, порівняно ймовір- но і незалежно, мають забезпечувати однозначну оборотність прямого та зворотного перетворення. Відповідним чином засвідчений відкритий ключ є сертифікатом (див. п. 1.1.1).

Значення Е_k, D_k для практичних використань мають задовольняти умову

,

де

.

Порівняння (1.54) можна звести до Діафантового рівняння:

ax+by=1. (9.9 1.56)

Це діафантове рівняння – нормоване, тому що справа коефіцієнт дорівнює 1; a, b – цілочисельні коефіцієнти, х, у – невідомі. Порівняння (9.7 1.54) можна подати у вигляді:

, (9.10 1.57)

k – деяке невідоме число.

Діафантове рівняння (9.9 1.56) має цілочисельне розв’язання, якщо a і b цілочисленні, і , a і b взаємно прості. Подавши (9.10 1.57) у вигляді

, (9.11 1.58)

отримаємо а=(N), x=(k), b=E_k, y=D_k .

Якщо E_k сформувати випадково, то а та b – відомі числа, а х та y – невідомі, що підлягають визначенню.

Найбільш швидке розв’язання (9.11 1.58) дає застосування ланцюгових дробів, які дозволяють визначити х та у як

, (9.12 1.59)

де  – порядок ланцюгового дробу, a і b – параметри ланцюгового дробу.

Знаходимо параметри:

a/b подається у вигляді ланцюгового дробу

, (9.13 1.60)

μ - порядок ланцюгового дробу, перший коефіцієнт, у якого залишок дорівнює 0.

Значення (а₀,b₀) та (а₁,b₁) визначаються як

,

.

Значення (а₂,b₂), (а₃,b₃) і т.д. визначаються рекурентно відповідно до правил

. (9.14 1.61)

Середнє число ітерацій в (1.60), тобто , можна визначити як [16]

.

4.1.3 Генерування ключів в системі DSA

Нехай є просте поле Галуа F(p). Третя довірена сторона генерує загальні параметри , де - просте, як правило «сильне» просте число, а - первісний елемент. Далі всі користувачі генерують випадково по принципу « сам – собі» - особисті ключі і зберігають їх як таємні, де

_i. (3.18)

Потім кожен формує відкриті ключі, викори­стовуючи загальносистемні параметри , тобто кожен із користувачів обчислює свій відкритий ключ

(3.19 2)

Кожний первісний елемент породжує поле ізоморфізмів поля Галуа

.

Приклад генерування ключів для двох користувачів наведений в таблиці 3.6

Таблиця 3.6