Задача 3.

Нехай є ЕК з рівнянням: ,a=1, b=1, p=23.

Перевірити, чи належать такі точки ЕК:

(1, 7), (1, 16).

Розв’язок задачі:

, точка (1,7) не належить ЕК;

, точка (1,16) належить ЕК.

Задача 5.

Побудувати , m=4,, .

Розв’язок задачі:

Поле – може бути задано 16 поліномами не вище третього ступеня, наприклад, поліномами над полем GF (2).

Елементи поля можуть бути задані в двійковому вигляді, тоді, наприклад,

x³+ x²+11101

x³+11001.

Операція множення елементів поля виконується в полі GF(P).

Наприклад:

Зведемо цей поліном за модулем f(x) = x⁴+ x+1. У результаті маємо:

Таким чином: (x³+ x²+1)(x³+ 1)(mod (x⁴+ x+1),2) = x³+ x²+x +11111.

В табл. 1.5 наведені елементи a^j для j=, якщо  = x.

Таблиця 1.5 – Значення a^j

j	0	1	2	3	4	5	6	7
 j	1	x	x2	x3	x+1	x2+x	x3+x2	x3+x2+x+1

Елементи поля можна отримати як a^j =  ^j (mod f(x),2), j=.

Задача 6.

Нехай задано поле ,m=4, ,.

Знайти , якщо .

Розв’язок задачі:

Знайдемо :

.

Далі знайдемо зворотний елемент для числа 0111, яке подамо поліномом х²+х+1.

Враховуючи, що:

;

.

Знайдемо :

Таким чином:

.

Додаток В Задачі для самостійного розв’язання

1. Нехай є ЕК з рівнянням: ,a=1, b=1, p=23.

Перевірити, чи належать точки, що наведені в табл. 1.6, еліптичній кривій:

Таблиця 1.6 – Значення

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	(3,10)	(3,13)	(4,0)	(5,4)	(5,19)	(6,4)	(6,19)	(7,11)	(7,2)	(9,7)	(9,16)	(17,3)
N	13	14	15	16
	(17,20)	(18,20)	(19,5)	(13,16)

Якщо n= k (mod 17), k – номер в журналі.

Якщо k=17, то k=k+1.

2. Знайти (з попередньої задачі).

3. Знайти , якщо(з попередньої задачі).

4. Знайти і, якщо,а еліптична крива має вигляд ,

	1	2	3	4	5	6	7	8

k – номер за списком, якщо k=8, то .