Дифференцируемость сп

СВ называется с.к.-производной СПв точке, если выполняется

.

Если предел существует, то является с.к.-дифференцируемым в точке. Еслидифференцируем в каждой точке, то говорят, чтос.к.-дифференцируем на интервале, а семейство СВназывается с.к.-производной СПна.

Теорема. Критерий с.к.-дифференцируемости.

Для того чтобы СП был с.к.-дифференцируем в точке ,необходимо, чтобы существовали производные и, и достаточно, чтобы эти производные были непрерывны в точках и соответственно.

Если СП дифференцируем на ,то его с.к.-производнаяимеет матожидание и корреляционную функцию, определяемые как

и.

СП называется дифференцируемым потраекторно на, если почти все его траектории - дифференцируемые функции, т.е.

.

Если потраекторная производная СП, а - с.к.-производная ,то ,т.е. СПиявляются стохастически эквивалентными.

Пример.

СП: - СВ с равномерным распределением на

- неслучайная величина.

Определить, имеет ли СП с.к.-производную.

,

Определим, имеет ли этот процесс с.к.-производную (выполняются ли условия теоремы).

Производные существуют и непрерывны в каждой точке.

Интегрирование сп

Понятие интеграла от случайного процесса также будем изучать в двух вариантах: с.к.-интеграл и потраекторный интеграл.

Пусть СП на .Навозьмем некоторое разбиение, а на каждом из промежутков выберем произвольную точку.

Если существует предел в с.к.-смысле

,

не зависящий от способа разбиения и выбора точек , то СПназывается с.к.-интегрируемым на, а случайная величинаназывается с.к.-интегралом:

.

Теорема. Критерий с.к.-интегрируемости.

Для существования с.к.-интеграла необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие интегралы Римана:

,.

Всякий процесс с.к.-непрерывный на является с.к.-интегрируемым на.

Теорема. Если СП с.к.-интегрируем на, то

.

Пример.

Дано: СП , такой что,.

Найти: характеристики СП .

Решение.

СП называется интегрируемым потраекторно, если почти каждая его траектория – интегрируемая по Риману нафункция, т.е.

.

Тогда является СВ. Если же СПявляется с.к.-интегрируем, то потраекторный и с.к.-интеграл совпадают с вероятностью 1.

Исследование данных с помощью автокорреляционного анализа

Нормированная автокорреляционная функция

,

может использоваться для ответа на вопросы:

1. являются ли данные случайными;

2. имеют ли данные тренд;

3. имеют ли данные сезонные (периодические) колебания.

В качестве оценки нормированной автокорреляционной функции случайного процесса, представленного временным рядом длиныпринимают

.

–выборочный коэффициент автокорреляции для запаздывания на периодов;

- выборочное среднее;

–наблюдение в -ый момент времени;

–число наблюдений.

С ростом точность оценкизаметно снижается На практике обычно максимальное значение.

Если последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом, то все коэффициенты. Если существует тренд, значенияиимеют сильную корреляцию, причем коэффициент автокорреляции существенно отличается от 0 для нескольких периодов запаздывания, а с увеличением задержки убывает до 0. Для сезонной компоненты значительный коэффициент корреляциибудет наблюдаться для значения равному периоду и кратных ему значений.

Как определить, что коэффициенты автокорреляции существенно отличаются от 0? Выдвигаем гипотезу , что оцениваемый истинный коэффициент корреляции. Альтернативная гипотеза:. Коэффициентявляется оценкой параметра. Для проверкиможет быть использована статистика, имеющее распределение Стьюдента, где- уровень значимости,- число степеней свободы:

,

где ,,.

Таким образом, для каждого отдельного значения мы можем вычислить требуемый доверительный интервал. Границы 95% доверительного интервала обычно наносятся на график корреляционной функции.