Моментные характеристики сп [1,4]

Раздел теории СП, занимающийся только моментами первых двух порядков, называется корреляционной теорией.

Для характеристики СВ были определены неслучайные числовые характеристики – матожидание - среднее значение СВ; дисперсия- разброс значений относительно; корреляционный (ковариационный) момент, который характеризует степень линейной зависимости между СВи.

Так как сечения СП представляют собой СВ, мы можем определить основные моментные характеристики СП. Моментные характеристик СП задают его простейшие свойства и вычисляются с помощью конечномерных распределений различных порядков.

Пусть - действительный скалярный процесс.Неслучайная функция ,, котораяравна матожиданию соответствующего сечения СП, называется матожиданием СП.Его можно найти через одномерный закон распределения.

Если , то СП называется центрированным. Центрированный СП можно получить. Реализации- отклонения от 0.

Дисперсия СП – это неслучайная функция СП, которая при каждом t равна дисперсии соответствующего сечения. - можно найти через одномерный закон распределения.

и важны, но не характеризуют внутреннюю структуру процессов.

Неслучайная функция

называется корреляционной функцией СП.

Т.е. корреляционная функция – функция двух аргументов - для каждой пары чисел иравна корреляционному моменту соответствующих сечений и характеризует степень их линейной зависимости. Для расчёта корреляционной функции необходимо знать двумерное распределение.

Если распределения иимеют плотности распределения, то

Основные свойства корреляционной функции

1. При равенстве аргументов

2. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов

3. Модуль корреляционной функцииy не превосходит произведение среднеквадратичных отклонений соответствующих сечений

Нормированная корреляционная функция (аналог - коэффициент корреляции).

Свойства нормированной корреляционной функции следуют из свойств корреляционной функции:

1) При равенстве аргументов

2)

3)

Взаимной корреляционной функцией двух СП иназывается неслучайная функция

_,

которая при каждой паре иравна корреляционному моменту двух сечений СПи.

Свойства взаимной корреляционной функции.

1) В общем случае

2)

Нормированная взаимная корреляционная функция

СП называется некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция .

Стационарные и эргодические процессы [4]

Наиболее важное свойство СП, позволяющее применить разработанные и апробированные методы исследования – это независимость свойств СП от начала отсчета времени отсчета времени, т.е. стационарность.

СП называетсястационарным в узком смысле, если многомерные законы распределения не меняются при сдвиге всех временных переменных на одно и то же число:

.

Одномерная функция распределения для стационарного процесса в узком смысле не зависит от времени.

Двумерная функция распределения для стационарного процесса в узком смысле зависит только от интервала между сечениями.

Для многих СП n-мерный закон распределения практически невозможно найти, но во многих прикладных задачах это и не нужно, описание ряда СП можно осуществить в рамках корреляционной теории.

Более обширный класс - стационарные процессы, стационарные в широком смысле (по Хинчину). Чаще всего под стационарностью понимается стационарность в широком смысле.

СП называется стационарным в широком смысле если:

_,

_,

.

Теорема.Из стационарности в узком смысле вытекает стационарность в широком смысле. (обратное утверждение в общем случае не верно)

Некоторые свойства корреляционной функции стационарного процесса.

1..

2. .

3. .

Пример

Стационарный случайный процесс называется периодическим с периодом , если его корреляционная функция является периодической функцией с этим периодом.

Теорема.Если— стационарный периодический случайный процесс с периодом, то его реализации с вероятностьюявляются периодическими с тем же периодом.