ВП_экзамен2012 / lectlons / lectlons / Авторегрессия

Авторегрессия

Случайный процесс называется процессом авторегрессии 1 порядка или кратко AR(1), если для него выполняется соотношение :

(1)

где - некоторая константа, - дискретное время, - независимые от значения случайной величины .

.

Мы будем рассматривать только стационарные процессы авторегрессии. Это условие накладывает определенные ограничения на параметр .

Определим числовые характеристики стационарного процесса авторегрессии.

Условия стационарности:

,

.

Взяв мат. ожидание от обеих частей (1)

,

получим

если .

Взяв дисперсию от обеих частей (1), получим

. Отсюда следует (учитывая, что ), что

, .

Таким образом, для стационарного процесса AR(1) получаем, что и для любых

.

Найдем значения корреляционной функции :

;

…

.

Из этих соотношений следует, что нормированная корреляционная функция .

Авторегрессия 1-го порядка - марковский процесс с дискретным временем. Характеризуется тем, что задание его состояния в некоторый момент времени определяет дальнейшее вероятностное поведение процесса безотносительно ко всему прошлому множеству состояний. Чем ближе к 1, тем более гладко ведут себя траектории. Если , то временная реализация будет прыгать. При - случайное броуновское движение (зависит от времени).