Разложение перестановок, циклы, транспозиции

Выясним, как “ведет себя” перестановка в области определения. Рассмотрим произвольную перестановку

.

Эта перестановка переводит единицу в четверку, четверку в единицу, двойка переходит в тройку, а тройка в двойку.

Если все перечисленные замены записать в той последовательности, в которой мы их производили, то рассматриваемая перестановка примет вид:

.

Нетрудно заметить, что перестановка  оказалась, по существу, разложенной на две части.

.

Это означает, что наша перестановка состоит из двух независимых частей, каждая из которых перемещает элементы, принадлежащие её собственной области определения (рис. 1).

Рис. 1 – Разложение перестановки .

Именно потому, что обе части перестановки  независимы, совершенно безразлично, какую из перестановок

выполнять первой, а какую второй. Если перестановки

выполнять последовательно одну за другой, то такие действия можно рассматривать, как умножение перестановок. Однако до сих пор мы говорили об умножении перестановок в тех случаях, когда области определения перестановок совпадали. Здесь же области определения перестановок различны.

Преодолеть возникшую проблему не составляет труда: условимся считать, что наши перестановки переводят каждый “недостающий” элемент в самого себя.

Таким образом, перестановка  допускает следующее разложение в произведение двух независимых перестановок:

.

Легко заметить, что в данном разложении нижние строки совершенно излишни. Действительно, верхние строки состоят из тех же элементов, что и нижние, причем каждый элемент под действием перестановки переходит в следующий. Это позволяет представить нашу перестановку в виде

.

Перестановки, стоящие в правой части, называются независимыми циклами, а представление перестановки

в виде

называется разложением перестановки в произведение независимых циклов.

Определение. Длиной цикла называется количество входящих в него элементов (в данном случае циклы имеют длину, равную двум).

Перестановка

допускает разложение только в один цикл

длиной 4.

Разложение перестановки  в произведение независимых циклов эквивалентно разбиению множества  на непересекающиеся классы

, где ,.

Известно, что разбиение множества на непересекающиеся классы эквивалентно введению некоторого отношения эквивалентности. Элементы, входящие в один из циклов, являются эквивалентными между собой, а сами циклы представляют собой классы эквивалентности.

Если некоторая перестановка, определенная на множестве, которую можно представить в виде произведения независимых циклов

,

то элементы множества  можно представить в виде объединения р попарно непересекающихся подмножеств

.

Таких, что

.

Множества называются-орбитами. Название это вполне обоснованно. Каждая точка принадлежит в точности одному классу эквивалентности, напримерили– орбите.

Если , тосостоит из образов точки i при действии степеней элемента

,

где – длина k-го цикла орбиты. Очевидно, чтои, причем– наименьшее число, обладающее этим свойством.

Цикл можно представить в виде:

. (4)

Цикл _k оставляет на месте все точки из множества , а для любой точки

(5)

Это свойство дает нам основание называть циклы независимыми или непересекающимися циклами.

Теорема. Каждая перестановка может быть представлена в виде произведениянезависимых циклов длины. Это разложение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.

. (6)

Замечание. Длина каждого k-го цикла – ,больше или равна двум. Если циклимеет длину равную единице, то он действует как единичная перестановка и его в произведении (5) естественно опускать.

Например, перестановку

можно представить в виде

.

Запись перестановки  в виде произведения независимых циклов (5) позволяет легко найти порядок перестановки

.

Следствие 1. Порядок перестановки(порядок циклической подгруппы) равен наименьшему общему кратному (НОК) длин независимых циклов, входящих в разложение.

Доказательство. Представим перестановку в виде произведения независимых циклов

. (7)

Тогда

Так как циклы независимы (они действуют на различных множествах), и если q – порядок циклической подгруппы,

,

то

,

где .

Следовательно, q – общее кратное порядков циклов _k, которые совпадают с их длинами .

Если q – наименьшее положительное число, для которого

,то

и

. (8)

Замечание. Два любых целых числа m и n можно записать в виде произведений одних и тех же простых чисел

.

Например

,

тогда

,

где

Множество простых чисел

.

Пример. Определить порядок перестановки вида

.

Решение. Представим перестановку  в виде произведения независимых циклов, т.е.

.

Длины независимых цикловравны

Следовательно, порядок рассматриваемой перестановки равен 28.

Определение. Цикл длиной два называется транспозицией. Любая транспозиция имеет вид и оставляет на местах все символы за исключением.

Теорема. Каждая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиции.

Доказательство. Теорема будет доказана, если мы сможем представить в виде произведений транспозиций каждый из циклов _k, входящих в разложения перестановки: .

Рассмотрим произвольный цикл , напримери произведем его разложение в произведение транспозиций.

Алгоритм разложения цикла в произведение транспозиций представлен на рисунке 2.

Цикл транспозиции

Рис 2. – Разложение цикла в произведение транспозиций.

После завершения всех операций на месте каждого элемента цикла оказался следующий за ним элемент, а первый элемент перешел на последнее место. Таким образом, циклоказался разложенным в произведение транспозиций:

Естественно, это разложение не единственно. Например

.

Важно другое – и в первом и во втором его разложении имеется равное количество транспозиций – четыре. Если , то количество транспозиций равно. Раскладывая аналогичным образом каждый циклперестановкив произведение транспозиции, мы получим разложение всей перестановкив произведение транспозиций.

Замечание. Количество транспозиций в цикле может быть и больше четырех! Возьмем произвольную транспозицию из разложения этого цикла, например,. Тогда произведениесовпадает с тождественной перестановкой и циклможно представить в виде

или

,

или

.

Легко заметить, что во всех этих случаях число транспозиций четно и равно 4,6,8. Ясно, что способ, «удлиняющий» разложение, не изменяет четности исходного разложения.

Теорема. Пусть  – перестановка из , а

. (9)

какое-либо разложение  в произведении транспозиций. Тогда число

(10)

называется четностью (сигнатурой или знаком) перестановки  и полностью определяется , т.е. не зависит от способа разложения перестановки  в произведение транспозиций. Кроме того, если , то

. (11)

Данную теорему приводим без доказательства. Доказательство теоремы приведено в [1].

Определение. Перестановка называется четной, если, и нечетной, если.

Из определения четности перестановки вытекает, что все транспозиции – нечетные перестановки. Действительно, если – транспозиция, то, тогда

Следствие 1. Все четные перестановки степени n образуют подгруппу порядка(она называется знакопеременной группой степени n).

Следствие 2. Пусть перестановка разложена в произведение независимых цикловдлин, где,, …,, …,– длины независимых циклов.

Тогда

. (12)

Доказательство. Действительно, по предыдущей теореме имеем

.

Кроме того, поскольку каждыйцикл записывается в виде произведениятранспозиций, то

.