3.1.2. Подкольцо кольца

Определение. Подмножество кольцаназывается подкольцом кольцаи обозначается, еслиявляется кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце.

В каждом кольце , очевидно существуют следующие подкольца:

• само кольцо ;

• нулевое кольцо , где.

Для выяснения, является ли данное подмножество кольцаподкольцом этого кольца можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы непустое подмножество кольцабыло его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(3.10)

(– подгруппа аддитивной группы кольца)

(3.11)

(– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца)

Доказательство. Докажем необходимость условий. Предположим, что подкольцо кольца. Пустьи– произвольные элементы подмножества. Тогда каждый из элементовкольцасодержится в: если бы по крайней мере один из них не содержался бы в, то подмножествоне было бы кольцом относительно операций, определенных на, и, следовательно, не было бы подкольцом кольца.

Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы. Тогда в подмножествеопределено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножествеопределены операции сложения и умножения. Эти операции на подмножествеассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом:

Поэтому

Нулевой элемент 0 содержится в и дляобратный (противоположный) элемент.

Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества. Тогдат.е.и, т.е.. Таким образом, подмножествоявляется кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных наи, следовательно, является подкольцом кольца.

Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел –.

2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел –.

3. Кольцо рациональных чисел и кольцо, где, как и ранее,– множество чисел вида, являются подкольцами кольца действительных чисел –.

Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольцаявляется подкольцом кольца:

. (3.12)

Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении. Если– кольцо с единицей, то каждое подкольцокольцатакже будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.

Пусть – произвольные элементы принадлежащие. Элементыи, очевидно, содержатся в каждом из подколец. По определению кольца, элементыитакже содержатся в каждом из подколец, следовательно– удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца.

Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколецкольца:

тогда можно определить минимальное подкольцо содержащее заданное множество:

(3.13)

Если – подкольцо кольца, то.

3.2 Важнейшие типы колец

3.2.1 Кольцо классов вычетов

Пусть – аддитивная группа целых чисел, а– подгруппа целых чисел делящихся набез остатка.

Ранее мы показали, что разбиение группы по подгруппе определяет фактор-множество

, (3.14)

элементы которого являются классы вычетов по модулюили левые смежные классы аддитивной группы целых чиселпо подгруппегде.

На множестве – классов вычетов по модулюопределены операции сложенияи умножения по модулю:

(3.15)

(3.16)

Так как выполнение этих операций сводится к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, т.е. над элементами из _m, то будет коммутативным кольцом с единицей.

Определение. Кольцо называется кольцом классов вычетов по модулю m.

Вводя обозначения при фиксированном m, операции сложения и умножения можно записать в сокращённой форме:

(3.17)

(3.18)

При записи операций сложения и умножения на классе вычетов по модулю можно отказаться и от чёрточек и кружочков и оперировать с каким-либо фиксированным множеством представителей классов вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве такого множества представителей выступает множество, – которое называется приведённой системой вычетов по модулю m.

Пусть , тогда таблицы Кэли для операций сложения и умножения в кольцеимеют вид:

	0	1	2			0	1	2
0	0	1	2		0	0	0	0
1	1	2	0		1	0	1	2
2	2	0	1		2	0	2	1

Кольцо классов вычетов по модулюиграет в алгебре важную роль и служит отправным пунктом для многочисленных обобщений.