Лекция 12 алгебраические структуры с двумя бинарными операциями Кольцо, определение, простейшие свойства

Знакомство с алгебраическими структурами порождаемыми множеством с заданной на нем одной бинарной операцией привело нас к понятиям группоида, моноида, группы, причем в качестве знака бинарной операции у нас фигурировали операции сложения "" и умножения "".

Естественно рассмотреть множества с заданными на них двумя бинарными операциями "", "".

Рассмотрение таких множеств приводит к расширению свойств рассматриваемых множеств, а также к ряду новых понятий, основными из которых теперь уже будут

кольца, тела, идеалы, поля.

Начнем с простейшего.

Определение. Пусть X – непустое множество-носитель, на котором заданы две бинарные алгебраические операции сложение "" и умножение "", тогда – называется кольцом, если удовлетворяются три следующих условия:

1. – аддитивная абелева группа, для которой выполняются аксиомы группы:

• замкнутость:

• ассоциативность: ;

• наличие единичного элемента: ;

• наличие обратного элемента:

;

• коммутативность: ;

2. – мультипликативная полугруппа, для которой выполняются:

• замкнутость: ;

• ассоциативность: ;

3. Операции сложения "" и умножения "" связаны дистрибутивными законами по "":

• –дистрибутивность слева;

• –дистрибутивность справа.

Замечание. 1. Единичный элемент группыкольцаназывается нулевым элементом кольца и обозначается 0.

2. Из определения кольца не следует существование или отсутствие в кольце единичного (относительно операции умножения) элемента. Однако, если в кольце существует единичный элемент, то он единственный. Если – моноид т.е. полугруппа с единицей, то кольцо– называется кольцом с единицей.

3. Единичный элемент кольца обозначается 1.

Определение. Если , то кольцо называется коммутативным (его не принято называть абелевым).

Определение. Кольцо, элементами которого являются числа, называется числовым кольцом.

Определение. Кольцо называется конечным если множество его элементовконечно.

Примеры числовых колец. 

1. Коммутативное кольцо целых чисел .

2. Коммутативное кольцо рациональных чисел .

3. Коммутативное кольцо четных целых чисел .

4. Коммутативное кольцо действительных чисел .

5. Обозначим множество всех чисел вида, где– любые рациональные числа.

Покажем, что является коммутативным кольцом относительно операций сложения и умножения действительных чисел.

Действительно, для любых двух чисел ииз множества, их суммаи произведение– принадлежат множеству; числосодержится в; для любого числаизобратное (противоположное) ему числопринадлежит множеству.

Так как операции сложения и умножения действительных чисел ассоциативны и коммутативны, то операции сложения и умножения элементов множества также ассоциативны и коммутативны, а операция умножения на множестведистрибутивна относительно операции сложения. Следовательно,– абелева группа,– полугруппа,– коммутативное кольцо.

Замечание. 1. К этому кольцу принадлежат, в частности, все рациональные числа (при ), а также число(при,).

 2. Вместо числа можно было бы взять и другие числа, например,,,, но тогда мы имели бы другие кольца.

6. Нулевое кольцо состоит из одного элемента – числа нуль. Во всех рассмотренных примерах элементами кольца являются числа.

Примеры не числовых полей. 

1. Пусть – множество всех квадратных матриц порядкас вещественными коэффициентами. Тогда– кольцо квадратных матриц с нулем 0 и единицей Е.

Действительно, – абелева группа,– некоммутативная полугруппа.

Определение. Множество – называется полным матричным кольцом над R или кольцом квадратных матриц порядканад R.

Замечание. Пусть К – некоторое коммутативное кольцо. Тогда – так же кольцо матриц с элементами из К. Действительно, еслитои, т.е. при сложении и умножении матриц с элементами из К, мы вновь будем получать матрицы с элементами из К.

–кольцо матриц с рациональными коэффициентами (или над Q).

–кольцо матриц с целыми коэффициентами (или над Z).

2. Кольцо функций, заданных на произвольном множестве X с значениями в произвольном кольце K. Пусть X – произвольное множество, К – произвольное кольцо. Тогда – множество всех функций, или множество всех однозначных отображений– рассматриваемых вместе с двумя бинарными операциями – поточечной суммойи поточечным произведением, определяемых следующим образом:

;

,

где – операции сложения и умножения в кольце К.

Замечание. Особую роль в математическом анализе играет случай, когда . В этом случае говорят о кольце функций одной переменной. Произведением функций, будет, но не. Можно показать, что ввыполняются все аксиомы кольца.

Нулевым и единичным элементами в кольце являются постоянные функциии:

–нулевая функция, принимающая тождественно значение "0";

–единичная функция, принимающая тождественно значение "1".

Если или, то говорят о кольце функций n–переменных.