4.2 Числовые поля

4.2.1 Поле рациональных чисел

В кольце целых чисел операция деления не выполняется. Это послужило причиной расширения кольца целых чисел до поля рациональных чисел. При расширении кольца целых чиселдо поля рациональных чиселруководствовались следующими требованиями:

1. Кольцо целых чисел должно быть подкольцом кольца рациональных чисел.

2. В кольце должна выполняться операция деления, кроме деления на нуль. Это означает, что кольцодолжно быть полем.

Среди полей являющихся расширением кольца поледолжно быть минимальным.

Определение. Полем рациональных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.

Можно показать, что поле рациональных чисел существует, и притом (с точностью до изоморфизма) единственно.

Элементами поля рациональных чисел являются, естественно, рациональные числа . Для рациональных чисел, как для элементов поля, верны все правила действия над частными (дробями).

Теорема. Поле рациональных чисел можно упорядочить.

Доказательство. Условимся считать рациональное число , где, положительным, тогда и только тогда, когда оба числаодновременно положительные или отрицательные. Другими словами, числобудем считать положительным тогда и только тогда, когда число– положительное.

Рациональное число будем считать меньше рационального числа, а рациональное число– больше рационального числаи писатьв том и только том случае, если– положительное рациональное число. Ясно, что положительные числа больше 0, а отрицательные–меньше 0. Легко проверить, что так определенное отношение– «меньше» является совершенным отношением строгого порядка. Таким образом. Поле рациональных чиселс помощью отношения– «меньше» линейно упорядочивается.