4.1.4 Упорядоченные поля

В некоторых полях, наряду с бинарными операциями сложения и умножения элементов поля, вводятся отношения порядка, определенным образом связанные с бинарными операциями. Такие поля называются упорядоченными.

Определение. Поле называется упорядоченным, если множество его элементов упорядочено и отношение строгого порядкаудовлетворяет следующим условиям:

(4.16)

(4.17)

Условия (4.16) (4.17) этого определения связывают отношение строгого порядка с бинарными операциями, определенными в поле .

Условие (4.16) называется законом монотонности сложения, а условие (4.17) – законом монотонности умножения.

Если элемент упорядоченного поляменьше элементаэтого поля, то говорят, что элемент в больше чем элемент, и записывают.

Теорема. Элемент упорядоченного полятогда и только тогда больше элемента этого поля, когда .

Доказательство. В самом деле, если , то, в силу условия 1 определения 1, , т. е. . Наоборот, если , то , т. е. .

Определение. Элемент упорядоченного поляназывают положительным, если, его называют отрицательным, если .

Если элемент положителен, то противоположный ему элемент – а отрицательный, так как из , в силу условия 1 определения 1, вытекает, что , или .

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел. Об этих полях более подробно будет говориться в следующей главе.

Рассмотрим теперь некоторые простейшие свойства упорядоченных полей. Пусть – произвольное упорядоченное поле.

1. Для всяких элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекают соответственно соотношения.

Доказательство. В самом деле, в силу условия 1 определения 1, . Отсюда следует, что . Действительно, . Так как операция сложения во всяком поле однозначна, то .

2. Для любых элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекают соответственно соотношения, если , и соотношения , если .

Доказательство. В силу условия 2 определения 1, .Отсюда вытекает, что . Действительно, Далее, и . В самом деле, . Аналогично, . Из однозначности операции умножения в любом поле вытекает, что .

3. Для всяких элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекают соответственно соотношения.

Доказательство. Действительно, ,,.

4. Для любых элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекают соответственно соотношения, если , и соотношения , если .

Доказательство. Доказывается это свойство методом от противного. Докажем, например, что при из соотношениявытекает соотношение. Предположим, что . Тогда, в силу 2, , что невозможно, так как по условию . Таким образом, предположение, что приводит к противоречию. Следовательно, . Аналогичные рассуждения проводятся и при рассмотрении всех других случаев.

5. Для любых элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекает соотношение.

Доказательство. Ho .

6. Для любых положительных элементов упорядоченного поляиз соотношенийвытекает соотношение.

Доказательство. В силу условия 2 определения 1, , и, следовательно,.

Определение. Модулем (или абсолютной величиной) элемента называют неотрицательный из элементови. Иными словами, модуль элемента– это сам элемент, модуль элемента– это противоположный элемент. Модуль элементаобозначают символом .

В соответствии с определением 3 всегда

.

7. Для любых элементов упорядоченного полясправедливо соотношение

.

Иногда это свойство формулируют следующим образом: модуль суммы конечного числа элементов упорядоченного поля не больше суммы модулей слагаемых.

Доказательство. При это свойство имеет место. Действительно, так как всегда , то . Если , то и, следовательно, .Если же , то и поэтому .

Следовательно, всегда .

Предположим теперь, что утверждение справедливо для , т.е. . Тогда ,тe. .

Таким образом, из предположения, что утверждение справедливо для , вытекает его справедливость и для . Следовательно, в силу принципа математической индукции, оно справедливо для любого натурального .

8. Для любых элементов упорядоченного полясправедливо соотношение

.

Иными словами, модуль произведения конечного числа элементов упоря­доченного поля равен произведению модулей сомножителей. Доказывается это свойство, как и предыдущее, методом математической ин­дукции.

Теорема. Сумма квадратов конечного числа элементов упорядоченного поля , по крайней мере один из которых отличный от нуля, больше нуля.

Доказательство. Если , то и . Если же , то либо , либо . Поскольку , то в обоих случаях, в силу свойства 2, . Таким образом, если по крайней мере один из элементов , отличный от нуля, то в сумме квадратов этих элементов каждое из слагаемых либо равно нулю, либо больше нуля, но хотя бы одно из них больше нуля. Следовательно, в силу свойства 1,

Следствие. Единичный элемент упорядоченного полябольше ну­левого элемента 0.

Доказательство. В самом деле.

Теорема. Всякое упорядоченное поле есть поле характеристики нуль.

Доказательство. Единичный элемент полябольше нулевого элемента 0. Поэтому для любого натурального числа кратное.

Так как – положительный элемент и , то –отрицательный элемент, т. е. . Следовательно, при любом целом, отличном от нуля , а это и означает, что – поле характеристики нуль.