3.3.4 Фактор-кольцо

Понятие идеала кольцааналогично понятию нормального делителя H для группы G . Это позволяет подойти к построению фактор-кольца таким же образом как и при построении фактор-группы G/H. Пусть– идеал кольца. Так как. основу кольца составляет аддитивная абелева группа , поэтому в качестве элементов фактор-кольца можно выбрать смежные классы, где, которые называютсяклассами вычетов по модулю идеала кольца.

Теорема. Множество аддитивных смежных классов образуют фактор-кольцо с операциями:

1. (3.70)

2. (3.71)

Кроме того, естественное отображение вида, является эпиморфизмом (– сюрьективно).

Доказательство. В абелевой группе любая подгруппанормальна т.к. поэтому выражение (3.69) определяет абелеву группу фактор-кольца , а отображение является эпиморфизмом аддитивных абелевых групп G и. Остается проверить, что выражение (3.70) однозначно определяет операцию умножения на множестве аддитивных смежных классов т.е. не зависит от выбора представителей соответствующих классов.

Пусть ,представители двух смежных классов, ит.е., тогдагде.

Найдем произведение

,

где .

Остается показать, что . Действительно, т.к. и – идеал в K, то т.к. .

Поэтому находятся в одном смежном классе с элементами, а это означает что произведение (3.51) определено правильно.

Пример. Рассмотрим кольцо целых чисел . Идеалом этого кольца являетсят.е. множество целых чисел, делящихся на m без остатка.

Аддитивный смежный класс кольца K по идеалу имеет вид, где.

Множество аддитивных смежных классов содержит ровно классов вычетов по модулю , и они имеют вид:

Таким образом, элементами фактор-кольца являются классы вычетов по модулю. Операции, на фактор-кольцезадаются на классах вычетов как и ранее:

,

При фиксированном m будем, как и ранее, использовать сокращенные записи :

Понятие фактор-кольца по идеалу кольцапозволяет сформировать основную теорему о гомоморфизме колец.

Теорема (о гомоморфизме колец). Пусть – гомоморфизм кольцана кольцо,. Тогда кольцоизоморфно фактор-кольцу, причем изоморфизмможет быть выбран так, чтот.е. для всехимеем, где– естественный гомоморфизм кольцана фактор-кольцо. Другими словами, теорема утверждает, что диаграмма

коммутативна, т.е. .

Доказательство. Пусть – произвольный элемент кольца, и– некоторый элемент кольца, такой, что. Тогда, поскольку, следовательно,. С другой стороны, если элементпри гомоморфизмеотображается в элемент, т.е., то, и поэтому, т.е.. Следовательно, множество всех элементов кольца, которые при гомоморфизмеотображаются в элемент, является классом вычетов кольцапо модулю, к которому принадлежит элемент, т.е. классом.

Обозначим символом отображение фактор-множества (множества классов вычетов по модулю)в, которое каждому классу вычетовставит в соответствие элемент, в который при гомоморфизиеотображаются все элементы класса, т.е., где– любой элемент из класса вычетов. Очевидно, чтоявляется сюрьективным отображением фактор-кольцана кольцо. Отображениеявляется гомоморфизмом. Действительно, пусть– два произвольно выбранных элемента кольца. Тогда,и поэтому,, т.е..

Докажем теперь, что отображение инъективно т.е. образы различных элементов различны. Действительно, если, то. Это действительно так. Если, то по определениют.е.. Поэтомуи. Отсюдаи. Следовательно,является изоморфизмом (биективным гомоморфизмом) фактор-кольцана кольцо. Это означает, что существует обратное отображение:,которое также является изоморфизмом кольцана фактор-кольцо. Рассмотрим теперь отображение. Поскольку– гомоморфизм колльцана, а– изоморфизм кольцана фактор-кольцо, то композиция отображенийопределяет отображение кольцана фактор-кольцо. Докажем теперь, что. Пусть– произвольный элемент кольца. По определению естественного отображения,. С другой стороны по определению гомоморфизма. Учитывая, что– изоморфизмнаимеем. Следовательно. Таким образом, а это означает, что, что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема о гомоморфизмах колец доказывает, что естественными гомоморфизмами кольцана его фактор-кольцо по двухстороннему идеалупо существу исчерпываются все его гомоморфизмы.