Операции над идеалами кольца

Рассмотрим некоторые элементарные операции над идеалами кольца . Пустьидва произвольных идеала кольца.

Теорема. Пересечение идеаловикольцаявляется идеалом этого кольца.

Доказательство. Пересечение идеалов является подгруппой аддитивной группы кольца. Кроме того, для любых элементовипроизведениеисодержится в идеалахии, следовательно, содержится и в их пересечении. Следовательно, пересечение идеаловявляется идеалом кольца.

Замечание. 1. Можно показать, что операция пересечения идеалов ассоциативна и коммутативна.

2. Рассмотренная теорема легко распространяется на любое конечное или счетное число идеалов.

Пусть и– некоторые не пустые подмножества кольца.

Определение. Множество всех элементов вида , где называется суммой подмножествии обозначается символом:

. (3.66)

Если подмножество состоит только из одного элемента, то суммаобозначается.

Определение. Произведением подмножествиназывается множество всех элементов вида:

, (3.67)

где – некоторое натуральное число,.

Если подмножество состоит только из одного элемента, то произведениеобозначают символом. Это произведение состоит из всех элементов вида.

Замечание. Определенная таким образом операция умножения подмножеств кольца ассоциативна. Если кольцокоммутативное, то операция умножения подмножеств также будет коммутативной.

Пусть – подмножества кольца, тогда их произведение

, (3.68)

состоит из всех сумм произведений вида , где.

Применим введение операции сложения и умножения подмножеств кольца к его идеалам.

Теорема. Сумма идеаловикольцаявляется идеалом этого кольца.

Доказательство. Пусть , тогда суммалюбых двух элементовимножествапринадлежит к, посколькуи элемент, противоположный произвольного выбранному элементу, также принадлежит к, так как. Следовательно,является подгруппой аддитивной группы кольца. Кроме того, для любых элементови любого.

Теорема. Произведение идеаловикольцатакже является идеалом кольца.

Доказательство. Действительно, сумма любых двух элементовмножестваявляется, очевидно, элементом этого же множества, а элемент– противоположный произвольно выбранному элементу, принадлежит к. Кроме того для любыхи.

Таким образом, в множестве идеалов кольца выполнимы операции сложения и умножения. Операция сложения идеалов – ассоциативна и коммутативна, а операция умножения – ассоциативна. Если кольцо– коммутативное, то операция умножения идеалов также коммутативна.

Теорема. Операции сложения и умножения идеалов кольцасвязаны дистрибутивными законами

.

Справедливость этого утверждения очевидна.

Теорема. Ядро гомоморфизма колец ,является идеалом в кольцекольца.

Доказательство. 1. Пусть G группа в K , а группа в. Тогда используя теорему о ядре гомоморфизма групп получаем, что если, то– подгруппа ви, следовательно,т.е. условие (3.39) теоремы выполнено.

Пусть для выполнения условия (3.40) необходимо доказать, что. Покажем, что. Действительно, из свойств гомоморфизма колец имеем:

,

.