Ядро гомоморфизма колец

Определение. Ядром гомоморфизма колец называется множество

На рисунке 1 заштрихованной областью изображено ядро гомоморфизма колец и .

Рис. 1 – Ядро гомоморфизма колец .

Ясно, что – подкольцо кольца , но это особое подкольцо.

Напомним, что если K – некоторое кольцо, то для того, чтобы непустое подмножество было кольцом (подкольцом K), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия :

1. L – должно быть подгруппой аддитивной группы кольца K, т.е.

2. L – должно быть замкнуто относительно операции умноження, т.е.

.

Идеалы колец

Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые идеалами: их роль аналогична роли нормальных делителей в теории групп.

Определение. Непустое подмножество кольцаназываетсяидеалом кольца , если выполняются два условия:

, (7)

. (8)

Эти условия означают, что идеал - это аддитивная подгруппа в кольце K, а операция умножения в кольце коммутативна.

Пример. Рассмотрим кольцо целых чисел

и кольцо целых чисел, делящихся на без остатка, .

Ясно, что .

Покажем, что – идеал.

Действительно,

.

Проверим выполнение условия (7). Пусть

,

где .

Проверим выполнение условия (8). Пусть

, где .

Обратно, .

Следовательно, – идеал кольца.

Каждое коммутативное кольцо , очевидно, является своим идеалом. Этот идеал называютединичным .

В каждом кольце нулевое подкольцоявляется идеалом, его называютнулевым идеалом и обозначают символом .

Единичный идеал кольцасодержит все элементы кольца, т.е. совпадает с самим кольцом и, следовательно, содержит любой идеалэтого кольца, а нулевой идеалсодержится в каждом идеалекольца.

Следовательно, в смысле отношения включения, единичный идеал – самый большой, а нулевой – самый меньший среди всех идеалов кольца.

Рассмотрим понятие идеала кольца более детально.

Пусть – некоторое кольцо, и– любой элемент этого кольца.

Определение. Множество всех элементов вида:

называется левым идеалом; а множество

называется правым идеалом, а множество

называется двусторонним идеалом кольца .

Покажем, что множество является левым идеалом кольца. Сумма любых двух элементовимножествапринадлежит этому самому множеству:

т.к. .

Для любого элемента противоположный элемент:

, т.к. .

Поэтому множество являетсяподгруппой аддитивной группы кольца .

Для любых элементов ипроизведение.

Следовательно, – левый идеал кольца.

Аналогично доказывается, что – правый, а– двусторонний идеал кольца. Если– коммутативное кольцо, то.

Замечание. Если кольцо не содержит единицы, то каждый из идеалов,,может не содержать элемента.

Если задано некоторое кольцо , то естественно, возникает вопрос: как построить или получить идеал этого кольца ?

Вначале рассмотрим построение идеала для некоммутативных колец.

Пусть – некоторое некоммутативное кольцо и– любой фиксированный элемент этого кольца.

Теорема. Множество элементов вида

где – любой элемент кольца, а– любое целое число, является идеалом кольца.

Этот идеал называется главным идеалом кольца, порожденным элементом , и обозначается символом .

Среди идеалов, которые содержат элемент , главный идеалявляется наименьшим (в смысле отношения включения).

Доказательство. Действительно, каждый идеал, который содержит элемент , содержит все кратныеи все суммы, а следовательно, и все суммы, т.е. содержит идеал .

Теорема. (о идеале коммутативного кольца) В коммутативном кольце K множество

является идеалом в K. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом и обозначается.

Доказательство. В коммутативном кольце

.

Докажем первое свойство идеала, т.е. если

,

в данном случае роль играет, т.е. .

Пусть

,

т.к. .

Докажем второе свойство идеала

,

где, как и ранее, .

Пусть

,

с другой стороны .

Определение. Кольцо , в котором все идеалы главные, называетсякольцом главных идеалов.

Если в кольце есть единица, то.

Действительно, из определения идеала следует, что.

С другой стороны,

,

поэтому .

Следовательно, .

Например, главный идеал кольца целых чиселсостоит из всех целых чисел, кратных числу:

Замечание. Нулевой идеал кольцаявляется главным идеалом. Если в кольце есть единица, то единичный идеалкольцатакже является идеалом.

Аналогично тому, как мы определили понятие главного идеала коммутативного кольца, можно определитьпонятие идеала, порожденного несколькими элементами .

Пусть – некоторое коммутативное кольцо и пусть.

Множество элементов вида:

,

где – любой элемент из кольца,– любое целое число, является идеалом кольца.

Множество элементов называетсябазисом идеала кольца.

Замечание. Для идеала , кроме базисамогут существовать и другие базисы, причем некоторые из них могут состоять из меньшего, чем, числа элементов.