Лекция 16 Гомоморфизмы и идеалы колец

Пусть – кольцо целых чисел, а– кольцо классов вычетов по модулю. Рассмотрим отображение

, (1)

определяемое как

, (2)

где ,– класс вычетов по, в который попадает число.

Таких классов ровно и отображение– сюрьективно.

Пусть , где , тогда в силу определенных в кольце операций сложения и умноженияимеем:

, (3)

, (4)

что позволяет говорить о гомоморфизме колец и.

Обобщим этот факт в виде следующего определения.

Определение. Пусть идва кольца. Отображениеназываетсягомоморфизмом, если оно сохраняет операции

, (5)

, (6)

где .

Чтобы указать, что

–гомоморфное отображение кольца на кольцопишутилиHom: .

Пример. Пусть – кольцо целых чисел, – кольцо классов вычетов по модулю 2.

Кольцо – содержит два класса:

класс четных чисел –

класс нечетных чисел .

Отображениe

, ,

которое каждому четному числу ставит в соответствие класс, а каждому нечетному – класс, являетсягомоморфизмом.

Рассмотрим основные свойства гомоморфных отображений колец, которые сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема. Если гомоморфизм кольцав кольцо, то:

1.(нуль кольца K отображается в нуль кольца);

2.;

3. есть подкольцо кольца:

4. Если для операции умножения в , то, а если для, то.

Доказательство. 

1. Если .

Тогда

,

где .

Отсюда следует, что – есть нулевой элемент кольца.

2. Докажем, что для : .

Действительно, .

С другой стороны, .

3. Докажем, что – подкольцо кольца.

Утверждение будет доказано, если мы покажем, что:

а.– группа по сложению,

б.– полугруппа поумножению.

А)  Пусть

,

т.е. - два произвольных элемента , тогда

,

следовательно – подгруппа в.

Б.) Покажем, что если и , то и их произведение .

Действительно, если и, то

, где .

Тогда .

4. Докажем, что

.

Действительно, если и

.

С другой стороны, т.к. – гомоморфизм, то

.

Замечание. Если – гомоморфизм колец, то для любого фиксированного

.

Действительно, пусть , тогда

.

Вместе с тем, выражение не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее – целое число.

Однако, если кольцо обладает единицей 1, то можно рассматривать как настоящее произведение, а именно

.

Аналогично морфизмам групп, рассматриваются морфизмы колец, при этом гомоморфизм называется:

– мономорфизмом, если отображение – инъективно:

,

причем , т.е. образы различных элементов различны.

– эпиморфизмом, если – сюрьективно:

каждый элемент имеет прообразт.е.

;

– изоморфизмом, если – биективно.

Факт изоморфизма колец кратко записывается в виде .

Пример. Пусть – кольцо целых чисел, а– кольцо классов вычетов по модулю.

Рассмотрим отображение

,

такое, что

.

1. Отображение являетсягомоморфизмом, т.к. сохраняет групповые операции:

Для классов вычетов эти операции имеют вид:

2. Отображение являетсяэпиморфизмом,

т.е. – сюрьективно для любого имеется прообраз, такой, что

,

т.е. при делении на числодает положительный остаток равный;

–не инъективно, т.к. если, как и ранее , тоимеют один и тот же образ.