Консультация

1 Бинарные алгебраические операции

Определение. Бинарной алгебраической операцией (внутренним законом композиции) на называется произвольное, но фиксированное отображение декартова квадратав, т.е.

(1)

или

(2)

Таким образом, любой упорядоченной паре ставится в соответствие элемент. Тот факт, что, записывается символически в виде.

Определение. Множество называется замкнутым относительно операции, если для любых .

Свойства бинарных операций

Бинарная алгебраическая операция  на множестве называется:

• коммутативной, если ;

• ассоциативной, если .

Определение. Элемент называетсяединичным или нейтральным относительно рассматриваемой операции  на , если

. (4)

Определение. Элемент называетсяобратным или симметричным к элементу , если

. (5)

1. Элементарные алгебраические структуры.

Определение. Множество с заданной на нём алгебраической операцией называется алгебраической структурой и обозначается .

Определение. Множество , с заданной на нем бинарной алгебраической операции , называется группоидом.

Группоид – это элементарная алгебраическая структура, для которой выполняется единственное свойство операции  - замкнутость множества относительно этой операции.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называетсяполугруппой, если операция  на ассоциативна:

.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называетсямоноидом (полугруппой с единицей), если выполняются следующие условия:

• операция  на – ассоциативна;

• существует единичный элемент , такой, что.

2. Группы

Определение. Моноид , все элементы которого обратимы, называетсягруппой.

Определение. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией *называется группой, если выполняются следующие аксиомы группы:

1. (ассоциативность);

2. (существование единичного элемента);

3. (существование обратного элемента).

Определение. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной илиабелевой группой.

Определение. Подмножество полугруппыназываетсяподполугруппой, если .

В этом случае говорят, что подмножество замкнуто относительно операции полугруппы .

Определение. Если – моноид, а подмножествоне только замкнуто относительно операции, но и содержит единичный элемент, то называетсяподмоноидом.

Определение. Моноид , все элементы которого обратимы, называетсягруппой.

Свойства абстрактных групп Обобщенная ассоциативность

Пусть

(1)

при любых .

Степень элемента группы

Пусть , тогда– называется-й степенью элемента,

–основанием, – показателем степени.

показатель степени принадлежат множеству целых чисел, т.е..

Теорема. Каковы бы ни были :

Следствие 1. Степени одного и того же элемента можно переставить:

.

Это свойство следует из коммутативности сложения: .

Следствие 2.  -я степень обратного элемента совпадает с элементом, обратным данному в-й степени, т.е.

Порядок элемента группы

Определение. Наименьшее целое положительное число , при котором выполняется равенство

,

называется порядком элемента и обозначается

или .

Если порядок элемента равен, т.е. если

,

тогда равенство

выполняется всегда.

Если , то все элементы вида

, (9).

различны.

Утверждение. Если , то любая степень элементасовпадает с одним из элементов ряда (9).