
Деление многочленов.
Кольцо
многочленов
с вещественными коэффициентами близко
к кольцу целых чисел
.
Эта аналогия проявляется в том, что для многочленов, как и для целых чисел, имеются понятия деления нацело, деление с остатком, делителя, наибольшего общего делителя (НОД) и др.
Теорема.
Для
любых двух многочленов
,
где
,
существует, и притом единственная, пара
многочленов
,
такая, что
,
где либо
,
либо
.
Эта
теорема очень похожа на теорему о
делимости целых чисел. По
аналогии с целыми числами
многочлен
называетсячастным
(если
)
илинеполным
частным
(если
).
А
-остатком
от этого деления.
Если
,
то говорят, что
нацело
делится
,
при этом
называетсяделителем
.
Очевидно, что делителями любого многочлена
будут:
Все многочлены нулевой степени, т.е. 1.
Все многочлены вида
, где
.
Определение.
Многочлен
называетсяобщим
делителем многочленов
и
,
если он является делителем каждого из
них.
Замечание. Очевидно, все многочлены нулевой степени – общие делители для любой пары многочленов.
Определение. Многочлены, не имеющие других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени, называются взаимно простыми.
Определение.
Многочлен
называется наибольшим
общим делителем многочленов
,
если:
1.
Пример. Пусть
заданы два многочлена с булевыми
коэффициентами,
т.е.
.
Суммой
многочленов
является
многочлен
вида:
,
а
произведением – многочлен
:
Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.
Вывод. Многочлены
с целочисленными коэффициентами образуют
коммутативное кольцо. Можно показать,
что многочлены с рациональными,
вещественными и комплексными коэффициентами
также образуют соответствующие кольца
многочленов. В общем случае говорят о
«кольцах многочленов
над кольцом
.
В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел.
Эти
кольца получили название колец главных
идеалов. Пусть
– кольцо целостности с единицей –
коммутативное кольцо без делителей
нуля, в котором понятие правого и левого
делителя элемента совпадают. Определение
делимости элементов этого кольца можно
сформулировать так:
Определение.
Если для
элементов
кольца целостности
в кольце
существует такой элемент
,
что
,
то говорят, что элемент
делится на
,
и пишут
или
делит
,
и пишут
,
или
.
Из
определения делимости двух элементов
вытекают следующие свойства делимости
в кольце целостности:
Эти
свойства являются распространением на
кольцо целостности
соответствующих свойств делимости в
кольце целых чисел.
5. Каждый
элемент
делится на любой делитель
единицы
.
Действительно, если
– делитель единицы, то и
– также делитель единицы, а это означает,
что
,
тогда
и, следовательно,
.
6. Если
делится на
,
то
делится и на
,
где
– любой делитель единицы.
Действительно,
из равенства
следует равенство
и, следовательно,
.
7. Каждый
элемент из делителей
и
,
где
– любой делитель единицы, является
делителем и другого.
Действительно,
из равенства
следует равенство
,
а из равенства
– равенство
.
Следовательно, если
,
то
,
и наоборот.
В
дальнейшем будем рассматривать элементы
кольца целостности
,
отличные от нуля.
Определение. Элементы
кольца целостности
называютсяассоциированными,
если каждый из них является делителем
другого:
. (55)
Из
равенства (55) следует, что
.
Отсюда, сократив обе части полученного
равенства на
,
получаем
.
Следовательно,
и
являются делителями единицы. Таким
образом, если
и
– ассоциированные элементы, то
,
где
– некоторый делитель единицы. С другой
стороны, какой бы мы не взяли делитель
единицы
,
элементы
и
ассоциированные между собой, поскольку
.
Определение. Элементы
кольца целостности
называютсяассоциированными,
если
,
где
– некоторый делитель единицы.
Пример. В
кольце целых чисел
ассоциированными являются пары чисел
.
Если
и
ассоциированные элементы кольца
целостности
,
то
.
Отсюда следует, что
– главный идеал, порожденный элементом
является подмножеством
– главного идеала, порожденного элементом
и наоборот:
Это
означает, что два ассоциированных
элемента
,
кольца целостности
порождают один и тот же главный идеал.
Пусть
– произвольные элементы кольца
целостности
.
Определение. Элемент
называется общим делителем элементов
и
,
если каждый из этих элементов делится
на
.
По
свойству 5 все делители единицы
кольца целостности
являются общими делителями элементов
и
.
Но у элементов
и
могут быть и другие общие делители.
Введем понятие наибольшего общего
делителя (НОД) этих элементов. Определение
НОД двух целых чисел, по которому НОД
называютнаибольший
из общих делителей, распространить на
кольцо целостности нельзя, т.к. в
произвольном кольце целостности
нет отношения порядка. Однако можно
ввести и другое определение НОД двух
чисел
и
,
а именно: НОД двух чисел
и
называется такой общий делитель этих
чисел, который делится на любой другой
их общий делитель. Именно это определение
НОД и распространяется на элементы
кольца целостности
.
Определение. Наибольшим
общим делителем двух элементов
кольца целостности
называется такой элемент
,
обозначаемый символом
и обладающий двумя свойствами:
;
.
Замечание. Ясно,
что вместе с
свойствами 1., 2. Обладает любой
ассоциированный с ним элемент.
Действительно, если
– НОД элементов
,
то формально это записывается в виде
или
.
Если также и
,
то элементы
и
делятся друг на друга и, следовательно,
являются ассоциированными. С другой
стороны, если
,
то, очевидно,
,
где
– любой делитель единицы. Таким образом
НОД элементов
определяется с точностью до сомножителя
,
который является делителем единицы.
С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:
;
;
;
.
Свойство
6. позволяет распространить понятие НОД
на произвольное конечное число элементов
кольца целостности
.
По
аналогии с
вводится дуальное понятиенаименьшего
общего кратного
элементов
кольца целостности
определенного с точностью до
ассоциированности и обладающее также
двумя свойствами:
;
.
В
частности, полагая
,
получаем, что
.
Теорема. Если
для элементов
кольца целостности
существуют
и
.
Тогда
а) ;
б) ,
.
Доказательство. Утверждение
а) вытекает непосредственно из определения
.
Для доказательства б) необходимо
убедиться, что элемент
,
определенный равенством
,
обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно,
из
,
следовательно
,
откуда после сокращения на
,
допустимого в любом кольце целостности
,
имеем
,
т.е.
.
Аналогично
,
т.е.
.
Этим доказано свойство 1. Для доказательства
свойства 2. Представим
.
Положим
.
Тогда
– общее кратное элементов
и
.
Согласно свойству
для некоторого
,
откуда
,
т.е.
и
,
что и требовалось доказать.
Определение. Элементы
кольца целостности
называются взаимно простыми, если они
не имеют общих делителей, отличных от
делителей единицы, т.е. если НОД
.
Пусть
– произвольный делитель единицы, и
– произвольный элемент кольца целостности
.
Тогда из условия
следует, что
.
Это означает, что все элементы
ассоциированные с элементом
,
и все делители единицы являются делителями
элемента
.
Их называюттривиальными
или несобственными
делителями элемента
.
Все делители отличные от
и
,
если такие существуют в
,
называютсянетривиальными,
или собственными
делителями элемента
.
Пример. В
кольце целых чисел
тривиальными делителями числа 10 являются
числа
и
,
а нетривиальными – числа
и
.
Определение. Элемент
кольца целостности
называется неразложимым, или простым,
если он не является делителем единицы
и не имеет нетривиальных делителей;
элемент
называется разложимым, или составным,
если он имеет нетривиальные делители.
Другими
словами, элемент
называется разложимым, если его можно
представить в виде произведения
двух нетривиальных делителей
;
элемент
– называется неразложимым, если его
нельзя представить в виде произведения
двух нетривиальных делителей.
Пример. В
кольце целых чисел
неразложимыми являются числа
т.е. простые числа и противоположные
простым. Все остальные числа отличные
от
,
– разложимы.
Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:
если элемент
кольца целостности
неразложимый, то и любой ассоциированный с ним элемент
также неразложимый;
если
– произвольный элемент кольца целостности
, а
– неразложимый элемент из
, то или
делится на
, или
и
– взаимно простые элементы из
.
Действительно,
первое свойство следует непосредственно
из свойства 7 делимости элементов кольца
целостности. Второе свойство докажем
следующим образом. Если НОД,
то
как делитель неразложимого элемента
,
является либо некоторым делителем
единицы
,
либо элементом вида
.
В первом случае элементы
и
взаимно простые, во втором –
делится на
.
Определение. Кольцо
целостности
называется кольцом с однозначным
разложением на простые множители ( или
факториальным кольцом), если любой
элемент
из
можно представить в виде:
, (46)
где
обратный элемент, а
– простые элементы (не обязательно
попарно различные), причем из существования
другого такого разложения
следует,
что
и при надлежащей нумерации элементов
и
будет
,
,…,
,
где
– обратные элементы в
.
Допуская в разложении (46)
,
мы принимаем соглашение, что обратимые
элементы
в кольце целостности
также имеют разложение на простые
множители. Ясно, что если
– простой, а
обратный элемент в
,
то ассоциированный с
элемент
тоже простой.
Пример. В
кольце целых чисел
с обратимыми элементами
и
отношение порядка
дает возможность выделитьположительное
простое число
из двух возможных простых элементов
.
Теорема. Пусть
– произвольное кольцо целостности с
разложением на простые множители.
Однозначность разложения в
(факториальность
)
имеет место тогда и только тогда, когда
любой простой элемент
,
делящий произведение
,
делит по крайней мере один из сомножителей
или
.
Доказательство. Пусть
.
Если
разложения
на простые множители, а
– кольцо с однозначным разложением, то
из равенств
следует, что элемент
ассоциирован с одним из
или
,
т.е.
делит
или
.
Обратно,
установим однозначность разложения в
,
где
или
.
Рассуждая по индукции, допустим, что
разложение всех элементов из
с числом
простых множителей единственно (с
точностью до порядка сомножителей и их
ассоциированности).
Докажем
теперь это для любого элемента
,
который может быть разложен на
простых сомножителей. Именно, пусть
(47)
– два
разложения элемента
с
.
Условие
теоремы, примененное к
дает нам, что
должен делить один из элементов
.
Без ограничения общности (это вопрос
нумерации) будем считать, что
.
Но
– простой элемент, поэтому
,
где
– обратимый
элемент. Используя закон сокращения в
,
получаем из (41) равенство
. (48)
В
левой части равенства (42) стоит произведение
простых сомножителей. По предположению
индукции
и оба разложения отличаются лишь порядком
простых элементов, снабженных, возможно,
какими–то обратимыми сомножителями.
Замечание. В
произвольном кольце целостности
элемент
вообще не обязан допускать разложение
типа (40). Более интересным является тот
факт, что имеются кольца целостности,
в которых разложение на простые множители
хотя и возможно, но не является однозначным,
т.е. условия теоремы, кажущиеся тривиальными
не всегда выполняются.
Пример. Рассмотрим
кольцо целостности
,
где
.
Норма
каждого отличного от нуля элемента
– целое положительное число. Если
элемент
обратим в
,
то
,
откуда
.
Это возможно лишь при
.
Таким образом в
,
как и в 1
,
обратимыми элементами являются только
.
Если
,
то
.
Так как
,
то при заданном
число множителей
не может неограниченно расти. Следовательно,
разложение на простые множители в
возможно. Вместе с тем число 9 (да и не
только оно) допускает два существенно
различных разложения на простые
множители:
.
Неассоциированность
элементов 3 и
очевидна. Далее,
.
Поэтому из разложения
для
или
с необратимыми
следовало бы
,
т.е.
,
что невозможно, поскольку уравнение
с
неразрешимо. Этим доказана простота
элементов 3 и
.