Лекция 13 Подкольцо кольца

Определение. Подмножество кольцаназывается подкольцом кольцаи обозначается, если является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце .

В каждом кольце , очевидно, существуют следующие подкольца:

• само кольцо ;

• нулевое кольцо , где .

Для выяснения, является ли данное подмножество кольца подкольцом этого кольца, можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы непустое подмножество кольцабыло его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующихдвух условий:

(10)

(– подгруппа аддитивной группы кольца);

(11)

(– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца).

Доказательство.  Докажем необходимость условий. 

Предположим, что - подкольцо кольца .

Пусть и– произвольные элементы подмножества.

Тогда каждый из элементов

кольца содержится в:

если бы по крайней мере один из них не содержался бы в , то подмножествоне было бы кольцом относительно операций, определенных на, и, следовательно, не было бы подкольцом кольца.

Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы.

Тогда в подмножестве определено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножествеопределены операции сложения и умножения.

Эти операции на подмножестве ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом:

Нулевой элемент 0 содержится в и дляобратный (противоположный) элемент.

Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества.

Тогда т.е.и, т.е..

Таким образом, подмножество является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных наи, следовательно, является подкольцом кольца.

Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел –.

2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел –.

3. Кольцо рациональных чисел и кольцо, где, как и ранее, – множество чисел вида, являются подкольцами кольца действительных чисел –.

Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольцаявляется подкольцом кольца:

. (12)

Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении.

Если – кольцо с единицей, то каждое подкольцокольцатакже будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.

Пусть – произвольные элементы, принадлежащие . Элементыи, очевидно, содержатся в каждом из подколец.

По определению кольца, элементы итакже содержатся в каждом из подколец, следовательно– удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца.

Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколецкольца:

тогда можно определить минимальное подкольцо , содержащее заданное множество :

(13)

Если – подкольцо кольца, то.