Порядок перестановки

Запись перестановки  в виде произведения независимых циклов

позволяет легко найти порядок перестановки

.

Теорема 2. Порядок перестановки (порядок циклической подгруппы)равен наименьшему общему кратному (НОК) длин независимых циклов, входящих в разложение .

Доказательство. Представим перестановку в виде произведения независимых циклов

. (7)

Тогда

Так как циклы независимы (они действуют на различных множествах), и если q – порядок циклической подгруппы,

,

то

,

где .

Следовательно, q – общее кратное порядков циклов _k, которые совпадают с их длинами .

Если q – наименьшее положительное число, для которого

,то

и

. (8)

Основная теорема арифметики. Каждое положительное целое число n не равное единице может быть записано в виде произведения простых чисел

. (9)

Эта запись единственна с точностью до порядка следования сомножителей.

Заменив произведения совпадающих простых чисел в (9) их степенями, получим

где

Множество простых чисел

.

Пример. Два любых целых числа m и n можно записать в виде произведений одних и тех же простых чисел

,

тогда

,

где

Пример. Определить порядок перестановки вида

.

Решение. Представим перестановку  в виде произведения независимых циклов, т.е.

.

Длины независимых цикловравны

Следовательно, порядок рассматриваемой перестановки равен 28.

Разложение перестановки в произведение транспозиций.

Определение. Цикл длиной два называется транспозицией. Любая транспозиция имеет вид и оставляет на местах все символы за исключением.

Теорема. Каждая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиции.

Доказательство. Теорема будет доказана, если мы сможем представить в виде произведений транспозиций каждый из циклов _k, входящих в разложения перестановки: .

Рассмотрим произвольный цикл , напримери произведем его разложение в произведение транспозиций.

Алгоритм разложения цикла в произведение транспозиций представлен на рисунке 2.

Цикл транспозиции

Рис 2. – Разложение цикла в произведение транспозиций.

После завершения всех операций на месте каждого элемента цикла оказался следующий за ним элемент, а первый элемент перешел на последнее место. Таким образом, циклоказался разложенным в произведение транспозиций:

Естественно, это разложение не единственно. Например

.

Важно другое – и в первом и во втором его разложении имеется равное количество транспозиций – четыре. Если , то количество транспозиций равно. Раскладывая аналогичным образом каждый циклперестановкив произведение транспозиции, мы получим разложение всей перестановкив произведение транспозиций.

Замечание. Количество транспозиций в цикле может быть и больше четырех! Возьмем произвольную транспозицию из разложения этого цикла, например,. Тогда произведениесовпадает с тождественной перестановкой и циклможно представить в виде

или

,

или

.

Легко заметить, что во всех этих случаях число транспозиций четно и равно 4, 6, 8. Ясно, что способ, «удлиняющий» разложение, не изменяет четности исходного разложения.

Теорема. Пусть  – перестановка из , а

. (9)

какое-либо разложение  в произведении транспозиций.

Тогда число

(10)

называется четностью (сигнатурой или знаком) перестановки  и полностью определяется , т.е. не зависит от способа разложения перестановки  в произведение транспозиций. Кроме того, если , то

. (11)

Определение. Перестановка называется четной, если, и нечетной, если.

Из определения четности перестановки вытекает, что все транспозиции – нечетные перестановки.

Действительно, если – транспозиция, то, тогда

Следствие 1. Все четные перестановки степени n образуют подгруппу порядка(она называется знакопеременной группой степени n).

Следствие 2. Пусть перестановка разложена в произведение независимых циклов

длин

,

где ,, …,, …,– длины независимых циклов.

Тогда

. (12)

Доказательство. Действительно, по предыдущей теореме имеем

.

Кроме того, поскольку каждыйцикл записывается в виде произведениятранспозиций, то

.